Любить (х, у),

що описує відношення Х любить Y:

• (X) ( Y) люблять (Х, Y) - усі люди люблять усіх людей;

• (Х) ( Y) любить (Х, Y) - існує людина, що любить усіх;

• (Х) ( Y) любить (Х, Y) - для кожної людини існує той, що його любить;

• (Х) (Y) любить (Х, Y) - існує людина, що кого-небудь любить.

Визначення правильно побудованої формули

Комбінуючи логічні зв'язки і квантори можна рекурсивно визначити складову формулу логіки предикатів, яку називають правильно побудованою формулою (далі просто ППФ або логічна формула).

Якщо говорити стосовно до природної мови, те ППФ описує звичайну пропозиція загального виду. При цьому:

1. Термом є або константа, або змінна, або кортеж із n термів, перед якими стоїть функтор.

2. Предикат - це кортеж із n термів, перед якими стоїть предикатний символ.

3. Атомарний предикат є логічною формулою.

4. Якщо F і G - логічні формули, то (F); F,G; F V G; ¬ F; F>G; F-G - також є логічними формулами.

5. Якщо F(X) - логічна формула, те обидва вираження ( Х) F(X), ( X) F(X) є логічними формулами.

6. Всі результати, одержувані повторенням кінцевого числа n1 - n6, є логічними формулами.

Множина всіх пропозицій, побудованих відповідно до даних правил, утворять мову логіки предикатів першого порядку.

Логічний вивід - це процес одержання з множини правильно побудованих формул (S) деякої ППФ (s) шляхом застосування одного або декількох правил виводу.

Правило резолюції для простих пропозицій

Найбільше простий метод логічного виводу використовує тільки одне правило виводу, яке називається резолюцією. Її застосовують до логічних формул виду:

факт: А

заперечення: ¬(А1, ... , Аn)

імплікація: А < В1, ... , Вm,

де Аi (i = 1, n) і Bj (j = 1, m) - довільні предикати.

Розглянемо найбільше просту з форм резолюції для випадку всього лише двох S = { S1, S2 } ППФ виду:

S1 (заперечення): ¬ а

S2 (імплікація): А<У ,>

у якій предикат А з S1 збігається з предикатом А лівої частини S2.

У результаті одного кроку виводу з S1 і S2 буде отримана нова ППФ виду:

S: ¬ B.

На цьому кроку виводу ППФ S1 і S2 називаються батьківськими пропозиціями, а S - резольвентою, що утворюється в результаті застосування резолюції до S1 і S2.

Резолюція в цьому найпростішому випадку відповідає правилу виводу modus tollens, що записується у виді:

¬A A< B

¬B

і відповідає такій умові:

допускаючи, що: НЕ А і А ЯКЩО У,

виводимо: НЕ У

У ще більш простому випадку, коли S1 - заперечення, а S2 - факт, тобто:

S1: ¬А

S2: А,

застосування правила резолюції дасть резольвенту - порожнє заперечення

S:

і означає протиріччя. Даний крок виводу може бути записаний у виді:

¬A, A

.

і резолюцією є міркування типу

допускаючи, що: НЕ А і А

виводимо протиріччя.

Правило резолюції для складних пропозицій

Реальні логічні моделі містять значно більш складні пропозиції. Так заперечення можуть містити декілька предикатів, так само як і праві частини імплікацій. Тому більш загальним є випадок, коли батьківські пропозиції мають вид:

S1: ¬(A1,... ,Ak, ... ,An)

S2: Ak(B1, ... ,Bm) (де 1<k<n).

Тут деякий предикат Аk із заперечення S1 збігається з предикатом із лівої частини S2. У цьому випадку крок виводу заміняє Аk у S1 на праву частину S2 і в якості резольвенти отримують

S: ¬(A1, ... , A_k-1 , B1,... , Bm, A_k+1, ... , An).

Приклад.

допускаючи, що Не (темно і зима і холодно)

і що Зима якщо Січень

виводимо, що НЕ (темно і січень і холодно)

У тому випадку, якщо S1 має той же вид, а S2 - факт

S2: Ak,

причому Аk є одним із предикатів із S1, крок виводу тільки викреслює Аk із S1 і утворюється резольвента

S: ¬(A1, ... , A_k-1, A_k+1, ... , An).

Даний крок виводу можна ілюструвати наступним прикладом

допускаючи, що НЕ (темно і зима і холодно)

і що Зима

виводимо, що: НЕ (темно і холодно)

Проста резолюція зверху вниз

Розглянуті вище правила застосовуються на кожному кроку виводу тільки до двох батьківських речень. Водночас опис будь-якої області знання містить множину ППФ. Розглянемо процес логічного виводу для приклада, коли знання виражаються двома пропозиціями.

S2: одержує (студент, стипендію) < здає (успішно, сесію, студент)

S3: здає (успішно, сесію, студент).

Задача полягає в тому, щоб відповісти на запит