2.1.3. Катастрофа типу "ластівчин хвіст"

V = x 5 + a x 3 + b x 2 + c x

Керуючий простір у даному типу катастроф є тривимірним. Каскад біфуркацій у фазовому просторі складається з трьох поверхонь біфуркацій типу "згортки", які зустрічаються на двох кривих біфуркацій з точками повернення, які в кінцевому підсумку зустрічаються в одній точці, що представляє собою біфуркацію типу "ластівчин хвіст".

У міру проходження значень параметрів по поверхнях областей біфуркацій типу "згортка" пропадає один мінімум і один максимум потенційної функції. В області біфуркацій з точкою повернення два мінімуми і один максимум заміщуються одним мінімумом; за ними біфуркації типу "згортка" зникають. У точці ластівчиного хвоста два мінімуми і два максимуми зустрічаються в одному значенні змінної x. Для значень a> 0 за ластівчиним хвостом існує або одна пара (мінімум, максимум), або не існує взагалі ніяких біфуркацій. Це залежить від значень параметрів b і c. Дві поверхні біфуркацій типу "згортка" і дві лінії біфуркацій з точками повернення зустрічаються при a <0, а тому зникають в самій точці ластівчиного хвоста, замінюючись однією поверхнею біфуркацій типу "згортка". Остання картина Сальвадора Далі під назвою "Ласточкін хвіст" створена під впливом цього типу катастроф.

2.1.4. Катастрофа типу "Метелик"

V = x 6 + a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x

Залежно від значень параметрів потенційна функція може мати три, два чи один локальний мінімум, причому всі мінімуми розділені областями з біфуркації типу "згортка". У точці з поетичною назвою "метелик" зустрічаються три різні простори (тривимірних площини) таких біфуркацій типу "згортка", дві поверхні біфуркацій з точками повернення і скривив біфуркацій типу "ластівчин хвіст". Всі ці біфуркації пропадають в одній точці і перетворюються на просту структуру з точкою повернення тоді, коли значення параметра a стає позитивним.

.

2.2. Потенційні функції з двома активними змінними

Омбілічні катастрофи є прикладами катастроф другого порядку. Вони, наприклад, можуть спостерігатися в оптиці при відображенні світла від тривимірних поверхонь. Самі по собі такі катастрофи тісно пов'язані з геометрією майже сферичних поверхонь. Рене Том запропонував розглядати гіперболічну омбілічну катастрофу як руйнування хвилі, а еліптичну омбілічну катастрофу - як процес створення структур, схожих на волосяний покрив.

2.2.1. Гіперболічна омбіліка

V = x 3 + y 3 + a x y + b x + c y

2.2.2. Еліптична омбіліка

V = x 3 / 3 - x y 2 + a (x 2 + y 2) + b x + c y

2.2.3. Параболічна омбіліка

V = y x 2 + y 4 + a x 2 + b y 2 + c x + d y

3. Запис і класифікація катастроф по Арнольду

В. І. Арнольд запропонував класифікацію катастроф en: ADE classification, що використовує глибокі зв'язки з теорією груп Лі.

A 0 - несінгулярная точка: V = x .

A 1 - локальний екстремум : стійкий мінімум або нестійкий максимум .

A 2 - складка

A 3 - збірка

A 4 - ластівчин хвіст

A 5 - метелик

A k - нескінченна послідовність форм від однієї змінної

D 4 + - гаманець = гіперболічна омбіліка

D 4 - - піраміда = еліптична омбіліка

D 5 - параболічна омбіліка

D k - нескінченна послідовність інших омбілік

E 6 - символічна омбіліка V = x 3 + y 4 + a x y 2 + b x y + c x + d y

E 7

E 8

У теорії сингулярності є об'єкти, які відповідають більшості інших простих груп Лі.