2.1.2. Катастрофа типу "Збірка"

V = x 4 + a x 2 + b x

Діаграма катастрофи "збірка" з точкою повернення, на якій показані криві (коричневі, червоні) по змінній x, що задовольняють висловом для параметрів (a, b), криві показані для безперервно змінюється параметра b при різних значеннях параметра a. Поза геометричного місця точок повернення (синя область) для кожної точки (a, b) у фазовому просторі існує тільки одне екстремальне значення змінної x. Усередині точок повернення існує два різних значення x, які дають локальні мінімуми функції V (x) для кожної пари (a, b). При цьому вказані значення розділені локальним максимумом.

Біфуркація типу "вилка" при a = 0 на просторі b = 0. Форма точок повернення в фазовому просторі (a, b), близько точки катастрофи, показує геометричне місце біфуркацій типу "згортка", яке розділяє область з двома стабільними рішеннями і область з одним рішенням. Геометрія точок повернення досить звичайна, коли проводиться вивчення того, що відбувається з біфуркації типу "згортка" при додаванні в управляє простір нового параметра b. Змінюючи параметри, можна знайти, що є крива (синя) точок у просторі (a, b), на якій втрачається стабільність, тобто на цій кривій стабільне рішення може раптово "перестрибнути" на альтернативне значення (також стабільне).

Але в геометрії точок повернення крива біфуркацій загортає назад, створюючи друга гілка, на якій вже це друге рішення втрачає стабільність, а тому може зробити "стрибок" назад на початкове безліч рішень. При повторному збільшенні значення параметра b і наступному зменшенні його, можна спостерігати гістерезис в поведінці петель, оскільки система слід по одному рішенню, "перестрибує" на інше, слід по ньому і "перестрибує" назад на вихідне.

Однак це можливо тільки в області у параметричному просторі при a <0. Якщо значення параметра a збільшується, петлі гістерезису стають менше і менше, поки значення a не досягне 0. У цій точці петлі зникають (катастрофа з точкою повернення), і з'являється лише одне стабільне рішення.

Також можна розглянути процес зміни параметра a при незмінному значенні b. У симетричному випадку при b = 0 можна спостерігати біфуркацію типу "вила" при зменшуваному значенні параметра a одне стабільне рішення раптово поділяється на два стабільних рішення і одне нестабільне. У цей час фізична система проходить в область a <0 через точку повернення (a = 0, b = 0) (це - приклад спонтанного порушення симетрії). Далеко від точки повернення не існує раптових змін у фізичній системі, оскільки при проходженні по кривій біфуркації згортки відбувається тільки те, що стає доступним Другий альтернативний рішення.

Одне з найбільш цікавих пропозицій для Вашої катастрофи з точкою повернення полягає в тому, що цей тип катастрофи можна використовувати для моделювання поведінки собаки, яка у відповідь на зовнішній вплив може злякатися або розлютитися. Пропозиція полягає в тому, що при помірному впливі (a> 0) собака буде проявляти плавну зміну відгуку з переляку на злість в залежності від того, як було проведено вплив. Але більш високий рівень впливу - це стрес, відповідний переходу в область a <0. В цьому випадку якщо собака спочатку злякалася, вона залишиться переляканою при збільшенні рівня впливу на неї, поки в кінцевому підсумку вона не досягне точки повернення, де відбудеться спонтанний перехід в режим злоби. При переході в цей режим собака буде залишатися озлобленою навіть у разі поступового зниження впливу на неї.

Інший приклад прикладного застосування катастрофи з точкою повернення полягає в моделюванні поведінки електрона при переміщенні з одного енергетичного рівня на інший, що часто спостерігається в хімічних і біологічних системах. Це вказує на те, що біфуркації розглянутого типу та геометрія точок повернення є найбільш важливою практичною частиною теорії катастроф. Це - шаблони, які проявляються знову і знову у фізиці, інженерії та математичному моделюванні.

Решта прості геометрії катастроф є більш спеціалізованими в порівнянні з тільки що розглянутим, а тому виявляються тільки в деяких окремих випадках.