Спиновый магнитный момент электрона

Как указывалось выше, помимо орбитального момента электрон еще обладает спиновым моментом. В 1925 году было высказано предположение, основанное на опытах, что электрон вращается вокруг собственной оси, вследствие чего и возникает спиновый момент. Эту составляющую момента можно выразить математически через произведение спинового числа электрона и постоянной Планка деленной на 2π

,

(2.12)

где S - спиновое квантовое число электрона и независимо от главного квантового числа является величиной, одинаковой для всех электронов - S=1/2.

В соответствии с положениями квантовой механики величина вектора Ps выражается формулой

,

(2.13)

т.е. вектор механического момента численно равен .

Величина вектора спинового магнитного момента электрона _S, исходя из экспериментальных данных, равна значению

.

(2.14)

В квантовой механике также следовало

.

(2.15)

Значение вектора в выражениях (2.13) и (2.15) формально приписывается -S*.

Теоретическое обоснование электронного спина получено в релятивистской квантовой механике Дирака (1928г.), в которой существование спина и его магнитного момента выводилось из теории. Теория Дирака показала, что появление спина следует приписать специфически квантовым кинематическим свойствам поступательного движения электрона. Поэтому спиновый момент называют кинематическим.

Подставляя в формулу (2.14) величину магнетона Бора, получаем выражение

.

(2.16)

из формулы (2.16) следует второе универсальное гиромагнитное спиновое отношение

.

(2.17)

Сравнивая его с орбитальным видим, что оно в два раза больше, т.е. g_S=2g_l=2.

Экспериментальные значения гиромагнитного отношения (в единицах e/2m) для переходных элементов группы железа и их сплавов показали, что они близки к значению g2, что свидетельствует об основной роли спиновых магнитных моментов в образовании магнитных свойств атомов.

Пространственное квантование.

Энергетическое состояние атома при отсутствии внешнего магнитного поля можно охарактеризовать квантовыми числами:

n – главное квантовое число

l – угловое(азимутальное) квантовое число l=(n-1)

S – спиновое квантовое число

Поместим атом в магнитное поле. При этом возникнет взаимодействие магнитных орбитальных и спиновых моментов атома. Энергию этого взаимодействия можно выразить формулой:

\

 - вектор магнитного момента

H – напряженность магнитного поля

Так атом обладает моментом импульса (количества движения), то магнитная ось атома отклонена от направления поля H_вн на угол .

Так внешнее магнитное поле создает вращающий, моменты атома прецессируют (вращаются подобно гироскопу) вокруг направления поля под вполне определенным углом. Из квантовой механики известно, что проекции магнитного и механического момента электрона на внешнее поле должны принимать целые значения, поэтому и угол не может быть произвольным. Дискретная совокупность таких значений называется пространственным квантованием.

Проекции орбитальных моментов записываются:

Если считать величину l* векторной, то ее проекции на направление внешнего поля удобнее обозначить через

m_l=l*cos(l*H)

Полученная величина называется магнитным орбитальным квантовым числом.

Проекции магнитного и орбитального момента могут быть записаны:

.

(

Квантовое число m_l может принимать 2l+1 значений при данном значении l:

То есть, если мы знаем величину l, то мы можем определить для любого атома количество и величины проекций, как показано в таблице.

l	Zml	ml
0	1	0
1	3	-1,0,1
2	5	-2,-1,0,1,2
3	7	-3,-2,-1,0,1,2,3

Так же отметим, что проекции механического и магнитного моментов остаются кратными или магнетону Бора, в то время как величины самих векторов P_l и _l не кратны и _Б из-за появления величины .

На рисунке приведена графическая иллюстрация пространственного квантования магнитного орбитального момента для d -состояния с n=3, l=2. Максимальное число электронов в d состоянии Z_nl =10, которые занимают 5 подуровней по два на каждый в соответствии с принципом Паули. Величина вектора орбитального момента =2,45 одинакова для всех электронов. Под действием внешнего поля векторы займут положения, соответствующие значениям m_l =-2, -1, 0, +1, +2.

Пространственное квантование орбитального момента для l =2

Используя длину векторов r=2.45, начертим полуокружность в центре координат, на ординате m_l отметим величины проекций m_l и проведем прямые, параллельные оси абсцисс, до пересечения с полуокружностью. Векторы, проведенные из центра полуокружности до точки пересечения прямых с полуокружностью, изобразят возможные положения магнитных моментов электронов, которые прецессируют вокруг Нвн под определенным для каждого углом, равным

.

Подчеркнем, что в квантовой механике векторы моментов могут быть определены с точностью до прецессии вокруг Нвн (или другого поля квантования), т.е. одновременно можно знать только абсолютное значение вектора момента и одну из возможных его проекций на направление внешнего поля; проекции этих векторов на плоскость, перпендикулярную к полю, в "среднем" по времени равны нулю.

Известно, что ориентация спиновых векторов по отношению внешнему полю может быть выражена для отдельного электрона лишь двумя положениями, характеризуемыми проекциями этих векторов, которые принимают значения 1/2.

Проекции спиновых векторов на Нвн можно записать

.

Обозначим величину проекции через число m_S=S*cos(S*;H) Это число получило название магнитного спинового квантового числа. Проекции спиновых векторов с учетом m_S можно записать

.

Рис. 2.4. Пространственное квантование спиновых магнитных (механических) моментов

Для одноэлектронного атома m_S=±1/2. На рисунке выше представлена картина пространственного квантования спинового магнитного момента электрона.