6. Регуляризация интегрального уравнения Фредгольма I рода.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода . Ранее доказано, что оператор является вполне непрерывным при действии и при действии , а также то, что оператор, обратный к вполне непрерывному оператору, не может быть непрерывным. Поэтому задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода некорректна. Это значит, что даже при очень малых ошибках в задании решение может либо отсутствовать, либо очень сильно отличаться от искомого точного решения. Некорректная задача называется регуляризируемой, если существует хоть один регуляризирующий алгоритм её решения. Все математические задачи, сводящиеся к решению операторного уравнения , могут быть классифицированы следующим образом:

- корректно поставленные;

- некорректные и регуляризируемые;

- некорректные и нерегуляризируемые.

Понятно, что корректно поставленные задачи регуляризируемы, поскольку в качестве регуляризирующего алгоритма можно выбрать обратный оператор.

Рассмотрим регуляризирующий алгоритм решения интегрального уравнения первого рода , предложенный А.Н.Тихоновым.

Полагаем, что его ядро непрерывно и таково, что в однородном случае уравнение имеет только тривиальное решение . Тогда при любой правой части решение либо единственно, либо не существует. Это значит, что интегральный оператор взаимно-однозначно отображает пространства . Пространство обычно полагается пространством Соболева с нормой . Это гильбертово пространство, как и пространство . Сходимость в пространстве означает, что сама функция и все её производные, кроме -й, сходятся равномерно, а -я – среднеквадратично. То есть при регуляризация слабая, при сильная, а если , то регуляризация гладкая порядка . При больших решение сильно сглажено. Обычно полагают . В вариационной форме задачу можно представить как и построить сглаживающий функционал , где функционал называется стабилизатором -го порядка. Его обычно строят так: , где непрерывные и неотрицательные весовые функции, которые равны единице, если нет причин полагать иначе. Положим для простоты, что , . Тогда . Далее будем полагать, что . Ясно, что из сходимости в не следует сходимость в , но можно показать, что теорема Тихонова о регуляризации имеет место и в общем случае. Лемма о компактности. Семейство непрерывно дифференцируемых на сегменте функций, таких что , компактно.

Рассмотрим семейство непрерывно дифференцируемых на таких функций, что . Ясно, что .

Покажем равностепенную непрерывность. Рассмотрим

, а это и означает равностепенную непрерывность. Покажем равномерную ограниченность. Так как , то, применяя теорему о среднем, получим , откуда сразу . Возьмём произвольную точку . Тогда можно представить так: . Поскольку константа, наше множество функций равномерно ограничено.

Тогда по критерию Арцела это множество функций компактно в пространстве .

Запишем с учётом наших упрощений сглаживающий функционал Тихонова в таком виде: , где - непрерывная на функция, такая, что , , а . Здесь точное решение уравнения Фредгольма первого рода с непрерывным по совокупности аргументов и замкнутым ядром , при точно известной правой части , где непрерывно дифференцируемая на функция. Обозначим функцию, на которой достигается минимум функционала Тихонова , через . Тогда . Ясно, что . Напомним, что оператор действует из в при условии, что точное решение .

Теорема Тихонова о регуляризации. Пусть параметр регуляризации такой, что и, кроме того, . Тогда , где - точное решение, а регуляризированное решение.

. Пусть регуляризированное решение не стремится к точному решению . Тогда и такие, что . Так как

,

то .

Оба члена в левой части неотрицательны. Поэтому , и если , то . Тогда . Тогда из доказанной леммы следует, что последовательность компактна в пространстве , то есть из неё можно выделить подпоследовательность, которая будет равномерно сходиться к некоторой непрерывной на функции . Не ограничивая общности, будем полагать, что . Тогда

.

Но из неравенства

следует, что . Тогда при переходе к пределу при сразу получим, что , то есть , а это значит, что . Другими словами, , что противоречит исходному предположению.

Пример. Рассмотрим интегральное уравнение

. Его точное решение имеет вид:

Будем искать численное решение уравнения

, которое при уменьшении параметра стремится к решению исходного уравнения.

.

.

.

.

Существуют и другие методы регуляризации.

Пример. Рассмотрим задачу теплопроводности с обратным временем:

Решение этой задачи: Рассмотрим семейство линейных операторов . При регуляризированное решение будет сходиться к точному, если и рассматривать в пространстве . В самом деле, операторы определения коэффициентов Фурье и суммирования непрерывны, отсюда и непрерывность операторов , а сходимость последовательности следует из сходимости ряда Фурье в . Другой способ регуляризации – замена исходного некорректного уравнения пусть неустойчивым, но корректным уравнением путём добавления слагаемых, содержащих частные производные, в исходное уравнение, то есть изменения самого уравнения.

Пример. Для уравнения теплопроводности с обратным временем рассматривается уравнение с начальными данными , . Дополнительно потребуем, чтобы . В результате получим решение прямой задачи: . Видно, что при мы получаем решение исходного некорректного уравнения, то есть полученное решение регуляризирует исходную задачу. Так как , то норма решения прямой задачи .

Nunk dimittis, примерно с этого места и начинается то, что называется теорией обратных некорректных задач и практикой их вычислительного применения. Однако это требует значительно более глубокого знания и функционального анализа, и теории интегральных уравнений, и вариационного исчисления.

16