4. Принцип регуляризации

Определение. Семейство операторов называется регуляризирующим для уравнения , если каждый из них во первых, линеен и непрерывен, а во-вторых, , не очень большое, в пределах которого задача должна быть корректна по Адамару, и, наконец, должно выполняться условие непрерывной зависимости от параметров.

Пусть для уравнения удалось построить регуляризирующее семейство операторов . Сделаем оценку эффективности регуляризирующего алгоритма. Для этого оценим разность: . Коэффициент невязки , иначе задача построения регуляризирующего семейства операторов не решена. Уравнение некорректно, поэтому . При оператор должен совпасть с оператором, обратным к оператору , но оператор компактен и не имеет конечного обратного. Покажем, что . Так как , а , то по определению предела . Обозначим . Тогда при сразу получаем, что для любого сколь угодно малого . Таким образом, если построено регуляризирующее семейство операторов , то есть принципиальная возможность построения приближённого решения по приближённым данным с гарантированной точностью. Для этого необходимо найти в явном виде и . Значение чаще всего находится легко. А коэффициент невязки , вообще говоря, определить невозможно, если не предположить корректность по Тихонову (но мы решаем существенно некорректную задачу, а в ней речь вообще не идет о корректности по Тихонову).

5. Метод Лаврентьева

Уравнения вида , в которых правая часть , изучались М. М. Лаврентьевым. Ему принадлежит идея замены исходного уравнения близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части.

Пусть , где неизвестная функция, но предполагается её существование и единственность. Оператор компактен, поэтому обратный оператор неограничен. Априорно известно, что . Как обычно, считаем, что . На множестве мы можем выделить множество возможных решений (тогда образ множества ). Функция может как принадлежать, так и не принадлежать множеству . То есть уже по постановке это существенно некорректная задача. М. М. Лаврентьев предложил решать вместо уравнения следующую задачу: , где , а оператор компактный симметричный положительный оператор.

Теорема 1. Семейство операторов является регуляризирующим для уравнения .

Пусть , где , последовательность это полная ортогональная система собственных функций компактного оператора , а соответствующую ей систему собственных значений оператора обозначим через . Тогда по теореме Гильберта-Шмидта , а . Так как оператор компактный симметричный положительный оператор, то его система собственных значений состоит из действительных положительных чисел с единственной предельной точкой – нулём. Расположив последовательность в порядке убывания, получим , то есть норма регуляризатора . Это значит, что оператор непрерывен .

Тогда приближённое решение имеет вид: .

Теорема 2 (М. М. Лаврентьев). Пусть компактный самосопряженный положительный оператор, при и имеет менее высокий порядок малости. Тогда приближённое решение непрерывно зависит от правой части.

Нужно доказать, что , то есть что при . Оценим норму разности :

Отдельно оценим и . Для этого сначала оценим .

1.Пусть в гильбертовом пространстве есть ПОНС . Тогда:

, где а . Разложим в ряд Фурье выражение: . Это разложение имеет вид

Тогда по определению нормы в гильбертовом пространстве

2. Оценим :

Так как , то, умножив это выражение слева на , сразу получим . Тогда можно оценить таким образом:

Разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Поэтому . С другой стороны,

. Этот ряд сходится и , причём при , где - сумма ряда.

2. Оценим :

Так как при медленнее, чем , то при .

Таким образом, .

Комментарий. С другой стороны, при фиксированном значении . То есть , при котором регуляризация будет наилучшей. Если значение очень велико или очень мало, то это не регуляризация. Выбор параметра регуляризации является сложной проблемой. Обычно на практике проводят расчеты с несколькими значениями параметра, составляющими геометрическую прогрессию (например, ). Из полученных результатов выбирают наилучший по какому-нибудь правдоподобному критерию. Например, таким критерием может быть требование, чтобы невязка, полученная при подстановке найденного в исходное уравнение, была сравнима с погрешностью его правой части. Очевидно, воспроизводить правую часть с точностью, меньшей, чем эта погрешность, бессмысленно, равно как и в случае, когда погрешность много больше погрешности правой части.

Если оператор не обязательно положительный и самосопряженный, но ноль не принадлежит спектру оператора , то есть решение уравнения единственно, применим к обеим частям этого уравнения оператор . Тогда получится уравнение . Из единственности решения уравнения следует единственность решения уравнения . В самом деле, если , то . Теперь . Таким образом, в методе Лаврентьева операторному уравнению первого рода сопоставляется семейство операторных уравнений второго рода. Фактически, это частный случай практической реализации метода А.Н.Тихонова, состоящий в сведении задачи решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода . Метод Лаврентьева является, наверное, самым простым и наглядным методом регуляризации.