Методы регуляризации операторных уравнений

Если вы нарушаете правила, вас штрафуют,

если вы действуете по правилам,

вас облагают налогом.

Принцип Питера для бизнесменов

1. Существенно некорректные задачи

Рассматривается операторное уравнение первого рода , . Пространства и будем полагать гильбертовыми, а оператор , где - линейное нормированное пространство линейных непрерывных операторов с равномерной операторной номой. Сколько-нибудь общая теория уравнений первого рода отсутствует, и лишь в отдельных случаях удается использовать специальные методы. При этом для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда

- ни оператор , ни правая часть точно не известны. Известны только их приближённые значения и ;

- оператор , вообще говоря, нелинейный;

- множество возможных решений не является компактом, то есть задача некорректна по Тихонову;

- обратный оператор существует, но не непрерывен на образе множества возможных решений ;

- изменения правой части уравнения, связанные с её приближенным характером, могут выводить её за пределы множества при отображении множества с помощью оператора , то есть .

Такие задачи называются существенно некорректными. Корректная постановка таких задач называется стандартной схемой Тихонова.

2. Типы регуляризации

Будем полагать, что оператор линеен и задан точно. Точное задание оператора качественно не меняет результатов. Линеаризация, конечно, мера вынужденная. Априорной информацией будем считать то, что

- решение уравнения существует и единственно;

- правая часть , то есть принадлежит шару, не входящему в образ множества , то есть .

- известны пространства, в которых действует линейный оператор .

На одном и том же множестве могут существовать разные регуляризационные операторы. Поэтому различают следующие виды регуляризации в зависимости от выбора пространства :

1) слабая регуляризация, если гильбертово пространство;

2) сильная регуляризация, если решение ищется в пространстве Чебышева ;

3) гладкая регуляризация -го порядка, если решение ищется в пространстве .

Вместо уравнения решается уравнение , то есть полагаем, что оператор известен точно. Ясно, что в качестве решения такой задачи нельзя взять произвольное решение , так как оно может быть не единственным и не непрерывно зависеть от . Поэтому нужен принцип отбора решений.

3 .Принцип отбора решений

Этот принцип называется вариационным или стандартной схемой отбора решений Тихонова. Полагаем, что точное решение . Построим на множестве функционал так, чтобы:

1) он был, по крайней мере, неотрицательным (лучше, когда он выпуклый). В предыдущей главе функционал является, очевидно, выпуклым. Функционал называется стабилизатором;

2) на некотором компактном множестве решаем уравнение Эйлера и показываем, что минимум достигается на некоторых элементах

3) далее строим функционал . Функционал называется сглаживающим;

4) решается задача нахождения минимума , который достигается на элементах ;

Получение при каждом соответствующего равносильно применению к правой части уравнения оператора , который называется регуляризирующим оператором. Тогда приближенное решение находится так: . Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения , устойчивого к малым изменениям правой части, сводится во-первых, к нахождению регуляризирующих операторов, а во-вторых, к определению параметра регуляризации по дополнительной информации о задаче, например по величине погрешности, с которой задаётся правая часть . Этот метод построения приближённых решений называется методом регуляризации.