VII. Проекционные методы. Псевдо­решение

- Г-голубчики, сказал Федор Симеонович озадаченно... Это же проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения. - Мы сами знаем, что она не имеет решения, сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать. - К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо... К-как же искать решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то... - Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица - искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос... А. Стругацкий , Б. Стругацкий. Понедельник начинается в субботу

1. Проблема Бецалеля. Постановка задачи

Пусть банахово пространство, а конечномерное подпространство, не совпадаю­щее с . При использовании проекционных мето­дов исходная постановка задачи, как правило, является компромиссом между, быть может, про­тиворечивыми требованиями. Такие задачи или принципиально не имеют решения, или решение не единственно. И то и другое может сопровож­даться операторной неустойчивостью.

Определение. Задачей Чебышева называют любую задачу о наилучшем приближении эле­мента банахова пространства к конечно­мерному подпространству . Она ставится так: , надо указать элемент , такой, что .

Комментарий. Ясно, что элемент будет при­ближать любой элемент лучше, чем другие элементы из . Не ясно, существует ли такой элемент и единст­венен ли он.

Теорема 1 (существование наилучшего приближения). Наилучшее приближение эле­мента банахова пространства к конечномер­ному подпространству сущест­вует.

Пусть банахово пространство, а конечномерное подпространство, не сов­падающее с . Укажем эле­мент , такой, что . Для этого введём в некоторый базис . Тогда . Соот­ветствующая эвклидова норма в эвклидовом базисе имеет вид . В конеч­номерных пространствах все нормы эквива­лентны, то есть . Рассмот­рим функцию , . Она непрерывна, так как , то есть если , то и . Рассмотрим теперь шар , где . Вне шара . Так как , и так как , а , то и неравенство только уси­лится, если заменить на меньшее выраже­ние . Тогда . Та­ким образом, инфинум недостижим вне этого шара. Это означает, что внутри шара, то есть замкнутого ограниченного множества в ко­нечномерном пространстве, то есть компакта, функция достигает инфинума (теорема Вейерштрасса).

Комментарий. Таким образом, наилучшее при­ближение элемента х пространства к подпростран­ству L существует. Покажем, что оно не единственно. Пусть пространство Х есть плоскость , а . Введём на Х норму . Пусть .

Тогда .

Из графика этой функции видно, что при решение не единственно.

Определение. Множество называется выпуклым, если из того, что , следует, что принадлежит и весь отрезок, соединяю­щий точки , то есть совокупность всех то­чек х вида .

Определение. Банахово пространство на­зывается строго выпуклым, если для любого действи­тельного скаляра и любых .

Комментарий. Пространства при строго выпуклы, а при нет. Простран­ство не строго выпукло. Показано, что в нём проекция единственна только на подмножестве поли­номов степени не выше .

Теорема 2 (единственность наилучшего приближения).

Пусть строго выпуклое банахово простран­ство, а конечномерное подпространство, не совпадающее с Х, причём . Тогда , такой, что .

Существование доказано в теореме 1. Осталось показать единственность.

. Пусть два наилучших приближе­ния какого-то х. То­гда .

Так как строго выпуклое банахово простран­ство, то , так как при . Тогда , так как это линейная комбинация элементов из . Но по усло­вию . Это противоречие и доказывает тео­рему.

Комментарий. 1. Как найти наилучшее прибли­жение? В банаховых пространствах общего способа не существует. В гильбертовых пространствах такой об­щий способ даёт задача ортогонализации, приводящая к понятию ряда Фурье. Пусть – подпространство гильбертова пространства, а подпространство, ортогональное к . Тогда гильбертово пространство . Так как – сепарабельное простран­ство, то в нем всегда есть ортонормированная система векторов: , где символ Кроне­кера. Проекция вектора на вектор , где . Мы будем искать те значе­ния коэффициентов разложения , при которых не­вязка (квадрат невязки) будет мини­мальна:

.

Ясно, что это выражение будет принимать минималь­ное значение при и . Тогда . Отсюда получаем неравенство Бес­селя . При ортонормированная сис­тема векторов (ОНС) называется полной ортонор­мированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). От­сюда можно получить равенство Стек­лова –Парсеваля теорему Пифагора для гильбертовых пространств.

2. Пусть , где компактный оператор. Если , где ком­пакт, то в соответствии с теоремой Тихонова такая задача условно устойчива. Рассмотрим случай, когда .

Задача Чебышёва в применении к решению опера­торных уравнений I рода приводит к понятию псевдорешения (квазирешения) и методу В.К.Иванова нахождения псевдорешений.