IV. Инструменты. Преобразование ошибок

Не ошибается только Господь.

Именно это и настораживает.

Алекс Алдер

1. Обусловленность слау. Число обусловленности матрицы

Для корректной постановки задачи требуется существование и

единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от входных данных. Рассмотрим обратную задачу для СЛАУ. Если , то решение задачи существует и единственно. Входными данными в этом случае являются коэффициенты матрицы линейного оператора и правая часть. Пусть и матрица, и правая часть невырожденной системы заданы с некоторой погрешностью. Наряду с системой рассмотрим СЛАУ .

Определение. Обратная задача для СЛАУ устойчива по правой части, если для любых справедлива оценка , где - постоянная, независящая от правой части.

Эта оценка выражает факт непрерывной зависимости решения от правой части, т.е. показывает, что при .

Получим оценку относительной погрешности решения .

Ясно, что . Тогда, использовав неравенство треугольника, получаем или

. Обозначим . Тогда

.

Заметим, что так как . Тогда для оценки относительной погрешности решения окончательно получим

. Обозначим относительную ошибку измерения, относительную ошибку задания оператора. Величина называется числом обусловленности Тьюринга матрицы (коэффициентом усиления ошибки). Тогда . При получаем оценку при наличии погрешности только правых частей .

(2.8)

Комментарий. В результате получено соотношение, показывающее, на сколько возрастают относительные ошибки решения СЛАУ в случае наличия относительных ошибок при задании правых частей и элементов матриц. Это неулучшаемая оценка для относительной ошибки решения, которая, конечно, может быть существенно завышенной. Ясно, что , то есть для любой матричной нормы число обусловленности не меньше единицы. Большие значения числа обусловленности отвечают матрицам, плохо обращаемым численными методами. Для нормированных матриц (то есть матриц, у которых ) это означает наличие в обратной матрице больших элементов, и, следовательно, малые изменения правой части могут привести к относительно большим (хотя и конечным) изменениям в решении. Поэтому системы с плохо обусловленными матрицами практически неустойчивы, хотя задача корректна и выполнено условие устойчивости . Если , то говорят, что СЛАУ хорошо обусловлена, то есть ошибки входных данных слабо влияют на решение. Если ,то СЛАУ обусловлена плохо, что приводит к большим, но конечным изменениям в решении. Плохая обусловленность не следствие малости по сравнению с единицей определителя А и не оттого, что знаменатель мал или обратная матрица близка к 0, а за счёт появления в обратной матрице больших членов. Появляется класс “почти вырожденных операторов”. Можно привести пример, где определитель матрицы будет не мал по сравнению с коэффициентами. Рассмотрим диагональную матрицу у которой все диагональные элементы равны 10 и диагональную матрицу , у которой все диагональные элементы равны 10, кроме последнего, равного . Тогда , а , , . Ошибка в 10^-18 резко меняет поведение системы (точность в физике до , в астрономии до , в технике до , в психологии от10%).

Пример 1. Рассмотрим СЛАУ Её решение . Однако решение СЛАУ уже , то есть погрешность решения существенно больше, погрешности определения коэффициента. Для матрицы обратная матрица имеет вид . Тогда число обусловленности , вычисленное, например, по строчной норме, оказывается равным более .