2. Пространства носителей

` В линейной алгебре рассматриваются отображения конечномерных векторных пространств. Но во многих случаях, например при решении дифференциальных или интегральных уравнений, возникают отображения бесконечномерных векторных пространств, элементы которых представляются уже не конечными линейными комбинациями, а рядами. Поэтому центральное понятие в бесконечномерном случае сходимость последовательности элементов пространства. Чтобы его ввести, нужно каким-то образом наделить пространство способом измерения расстояния между точками, а сами точки числовыми характеристиками. В конечномерных пространствах из фундаментальности последовательности следует сходимость и наоборот критерий полноты. В бесконечномерных пространствах из фундаментальности последовательности сходимость может не следовать. Поэтому полнота это ключевой атрибут пространства.

Пространство в математике это контекстно определяемое понятие.

Определение. В под пространством в функциональном анализе понимают пару , где носитель пространства, некоторое множество, которое может быть как наделено определённой (линейной) структурой, так и нет, а заданный на элементах носителя функционал, позволяющий ввести понятие сходимости последовательности элементов пространства. На носителях , не наделённых линейной структурой, можно ввести метрику, свойства которой являются обобщением свойств расстояния между элементами в обычном геометрическом пространстве и построить таким образом метрические пространства. Обобщением метрических пространств являются топологические пространства. Любое метрическое пространство топологическое, обратное, вообще говоря, неверно. На носителях , наделённых линейной структурой, можно ввести как метрику, так и норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном геометрическом пространстве и построить таким образом нормированные пространства. Нормированные пространства всегда метрические и соответственно, топологические. Обратное, вообще говоря, неверно. Это такие пространства, как эвклидовы, гильбертовы и банаховы. Эвклидово пространство это нормированное пространство, где норма вводится через скалярное произведение. Иногда разделяют эвклидовы пространства на собственно эвклидовы (построенные над полем действительных чисел ) и унитарные (построенные над полем комплексных чисел ). Часто бесконечномерные эвклидовы пространства называют предгильбертовыми, потому, что гильбертовы пространства это полные эвклидовы пространства. Банаховы пространства это полные нормированные пространства. То есть гильбертовы пространства это банаховы пространства, где норма вводится через скалярное произведение. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в функциональном анализе являются линейные топологические пространства, то есть линейные пространства Х над полем комплексных чисел  или действительных чисел , которые одновременно являются и и топологическими пространствами, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Соотношения между бесконечномерными пространствами отображены на рисунке.

Определение. Линейной структурой (линейным пространством, векторным пространством) называют абелеву аддитивную группу (её элементы называют векторами), определённую над полем произвольной природы (элементы поля называют скалярами ), причём , а естественное согласование между группой и полем обеспечивается аксиомами дистрибутивности: , ассоциативности по элементам поля и унитарности . (Символом 1 обозначен нейтральный элемент поля по умножению). Поле вещественных чисел и поле комплексных чисел называют основными полями, полагая, что поле стандартно вложено в поле . Если основное поле любое, то его обозначают буквой . То есть линейная структура это четвёрка .

Определение 1. Пусть задана линейная структура , где , поле совпадает или с полем действительных чисел или с полем комплексных чисел . Говорят, что на линейной структуре задано скалярное произведение , любым элементам носителя ставится в соответствие действительное или комплексное число, удовлетворяющее аксиомам (легко доказываемым для обычных геометрических векторов): 1) и (линейность по первому аргументу); 2) где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность); 3) ,причем .

Комментарий. В определении мы абстрагируемся не только от природы изучаемых элементов и конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на действительное число, но и от конкретного вида правила образования скалярного произведения двух элементов. Важно лишь, чтобы указанные правила удовлетворяли аксиомам. Бесконечномерные эвклидовы пространства часто называют предгильбертовыми. В действительном эвклидовом пространстве скалярное произведение коммутативно, то есть и линейно и по второму аргументу. Сложнее с комплексным эвклидовом пространством. Здесь .

Определение 2. Эвклидовой нормой элемента называют (как аналог длины вектора).

Пример. На множестве непрерывных функций, заданных на сегменте , определим скалярное произведение . Покажем, что это скалярное произведение.

Из свойств интеграла очевидно выполнение первых двух аксиом. Покажем унитарность. По теореме о среднем . Покажем, что . Если , то и . Покажем обратное. Пусть . Покажем, что . . Пусть . Тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции . Но тогда . Эвклидова норма элементов в пространстве непрерывных функций .

Комментарий. Скалярное произведение на множестве непрерывных функций, заданных на сегменте , можно определить, например, как или как . Так как скалярное произведение можно ввести различными способами, то и нормы тоже отличаются между собой (удава можно мерить и мартышками и попугаями).

Заметим, что эвклидова норма обладает очевидными свойствами:

1. ;

2. для любого и любого числа ;

3. для любых (неравенство треугольника).

Неотрицательность и положительная однородность функционала очевидны. Покажем неравенство треугольника:

Приняв эти свойства за аксиомы, получим следующее

Определение 1. Говорят, что на линейной структуре задана норма его элементов, если указан функционал, ставящий в соответствие этим элементам действительное число, удовлетворяющее аксиомам 1-3. Пара называется нормированным пространством.

Определение 2. Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым.

Пример. Доказать, что , где нормированное пространство, выполняется неравенство .

.

Комментарий. 1. Ясно, что любое эвклидово пространство нормировано. Обратное, вообще говоря, неверно нормированные пространства не обязаны быть эвклидовами.

2. Обратим внимание, что и гильбертовы пространства как полные бесконечномерные эвклидовы пространства и банаховы пространства как полные бесконечномерные нормированные пространства построены на линейных структурах. Сейчас мы начнём строить пространства на произвольных носителях.

Определение . Пусть – произвольное непустое множество. Говорят, что на задана метрика (расстояние) , если каждой паре элементов поставлено в соответствие единственное неотрицательное число , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома треугольника).

Таким образом, на носителе задан неотрицательный функционал . Пара , то есть множество с заданной на нем метрикой , называется метрическим пространством.

_{Комментарий.} Из неравенства треугольника при сразу получаем , а при сразу получаем Но с другой стороны, неравенство треугольника можно записать так: . Тогда при сразу получаем , то есть . Тогда исходная система аксиом заменяется на часто более удобную систему из трёх аксиом:

Определение . Если – метрическое пространство и , то пара также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства , если , то есть расстояние между точками – равно расстоянию между этими точками в пространстве .

Комментарий. Стандартные пространства – это метрические или нормированные пространства со стандартными носителями и со стандартными метриками или нормами. В этих случаях пространства носят стандартные названия.

Стандартные носители

1. кортежи ;

2. ограниченные последовательности ;

3. множество непрерывных или непрерывно дифференцируемых функций на сегменте .

Стандартные метрики (нормы)

1. Гёльдеровские (радикальные) метрики: или или , . При эти метрики иногда называют энергетическими, так как в прикладных задачах они связана с энергией.

2. Чебышевские (супремальные), или равномерные, метрики. или .

Расстояние в нормированном пространстве определим так: . Нормированное пространство всегда метрическое с метрикой . Обратное, вообще говоря, неверно, то есть не любая метрика может быть нормой. При метрики становятся нормами, то есть норма элемента это расстояние между элементом и нулевым элементом для стандартных пространств.

Пример. Метрика - не может быть нормой при , т.к. .

Действительно, две первые аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Покажем, что выполнена и третья, то есть покажем, что : . Таким образом, осталось показать, что . Зафиксируем произвольная константа, и рассмотрим функцию . Так как , то при функция возрастает. Но если взять , , то , а . Поэтому .

Пример. Показать, что в пространстве не является нормой при и .

Не выполняется третья аксиома нормы. Действительно, возьмем вектор и вектор . Тогда для любого и . Однако . Поскольку , то и . Следовательно, .

Пример. Рассмотрим пространство .

При норма элемента- ||x||₁ = |x| + |y| называется октаэдрической, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет октаэдр.

При - норма элемента ||x||₂ = (|x|² + |y|²)^1/2 – евклидова (сферическая) норма, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет обычная сфера.

Чебышёвская (кубическая) норма: ||x||_∞=max{|x|,|y|}, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет куб.

При гёльдеровская группа норм стремится к чебышевской.

Стандартные метрические (нормированные) пространства

1. – n-мерное арифметическое пространство с радикальной метрикой (при это эвклидово пространство).

2. – -мерное арифметическое пространство с супремальной метрикой.

3. пространство ограниченных последовательностей с радикальной метрикой (координатное гильбертово пространство). (при это такие последовательности, сумма квадратов элементов которых конечна (т.е. ряд сходится). Эту сумму квадратов, т.е. сумму ряда, назовем квадратом длины вектора. Операции сложения и умножения на число определим как для конечномерных векторов-столбцов, то есть поэлементно.)

4. или пространство ограниченных последовательностей с супремальной метрикой.

5. пространство непрерывных функций с радикальной метрикой. Его пополнение - лебегово пространство. Норма пространства Лебега : . При пространство гильбертово и обозначается как .

6. пространство непрерывных функций с супремальной метрикой (чебышевское).

7. или пространство раз непрерывно дифференцируемых функций с супремальной нормой (такая норма называется дифференциальной): .

8. пространства непрерывно дифференцируемых функций с радикальной метрикой. Их пополнение пространства Соболева. Норма пространств Соболева : . При пространство гильбертово и обозначается как .

Любое нормированное пространство является метрическим с метрикой . Выполнение первых аксиом очевидно. Третья выполняется в силу . Обратное, вообще говоря, неверно, то есть метрические пространства, вообще говоря, не являются нормированными. Но если потребовать, чтобы метрическое пространство обладало инвариантностью относительно сдвигов, то есть и однородностью относительно растяжений, то есть , то тогда верно и обратное, и норма элемента есть метрика, второй элемент которой есть ноль.

Для стандартных метрических пространств это так, так что все вышеприведённые примеры являются одновременно и примерами стандартных норм с геометрией, отличной от эвклидовой. Единичные шары в этих метриках изображены в примере 3.

Пример 2. Покажем, что является метрикой. Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Чтобы проверить третью, то есть , докажем, что для любых имеет место неравенство . Для этого зафиксируем и рассмотрим функцию . Так как , а , то возрастающая функция. Однако, метрика при не будет нормой, так как .

Пример 3. Рассмотрим пространство . Положив , а , мы получим единичную сферу в пространстве .

При уравнение этой сферы имеет вид: , и такая метрика называется октаэдрической, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет октаэдр.

При уравнение этой сферы имеет вид: , и такая метрика называется евклидовой (сферической), потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет обычная сфера.

Чебышёвская (кубическая) метрика: ||x||_∞=max{|x|,|y|}, потому что единичной сферой в трёхмерном случае будет куб.

На рисунке: 1 единичная сфера с чебышёвской (кубической) метрикой; 2 единичная сфера с евклидовой (сферической) метрикой; 3 единичная сфера с октаэдрической метрикой. Случай изображен пунктиром. При единичная сфера с гёльдеровской группой метрик стремится к чебышевской.

Определение. Последовательность точек линейного нормированного пространства сходится к точке (сходится по норме), если или .

Обозначение используется обычное: .

Сходимость по норме пространства называется равномерной сходимостью. Сходимость по норме пространства называется сходимостью в среднем.

Определение . Метрика (норма) ρ₁ сильнее, чем метрика (норма) ρ₂, если из сходимости по ρ₁ следует сходимость по ρ₂, но существует хоть одна последовательность, которая сходится по норме ρ₂, но не сходится по норме ρ₁.

Пример. Доказать, что метрика пространства сильнее метрики пространства .

, то есть не слабее . Теперь укажем последовательность , которая сходится по , но не сходится по . Эта последовательность стандартный пробник функционального анализа, . , а , то есть эта последовательность сходится по , но не сходится по .

Комментарий. В конечномерных пространствах все метрики (нормы) топологически эквивалентны в следующем смысле: для шара радиуса R, построенного на основе одной из норм, можно построить вписанный в него и описанный вокруг него шары, построенные на основе другой нормы (разумеется, другого радиуса). Поэтому здесь причиной некорректности может быть только вырожденность оператора , т.е. оператор должен быть проектором. Другими словами, размерности конечномерных пространств и не совпадают. Это и приводит к информационной недоопределённости, то есть некорректности прямой или обратной задачи.

В бесконечномерных пространствах это не так. Покажем, что чебышевская норма, по крайней мере, не слабее гёльдеровской, а дифференциальная не слабее чебышевской. ,но

.

Это и даёт теоретическую возможность подбора пространств для того, чтобы задача стала корректной. Кроме того, в бесконечномерных пространствах по теореме Рисса Фишера все сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны, т.е. тоже фактически эквивалентны. Сепарабельность означает, что на абстрактном множестве есть всюду плотное счётное множество (“счётный скелет”), то есть в бесконечномерном пространстве можно построить счетный базис. Мощности любых двух полных ортонормированных систем в сепарабельном пространстве одинаковы. В произвольных банаховых пространствах такой эквивалентности нет. По теореме Йордана фон Неймана, если , где банахово пространство, и для этих элементов выполняется правило параллелограмма , то можно определить скалярное произведение так, что пространство станет гильбертовым пространством. Для многих банаховых пространств это не так. Например, пространство функционалов , таких, что . Если и -непрерывные функции с непересекающимися носителями, то . Таким образом, правило параллелограмма не выполняется, так как (Вообще, скалярное произведение для радикальной нормы можно определить только при ) Поэтому в произвольных В-пространствах задача может быть корректной или нет в зависимости от выбора норм.

Примеры. 1. В пространстве найти расстояние между функциями а) ( ); б) (8);

в) (5); г) ( ).

2. В пространствах найти расстояние между функциями .

3. В пространствах найти расстояние между функциями а) ; б) .

4. В пространствах найти нормы элементов и и расстояние между ними.

5. В пространствах найти норму элемента .

6. Показать, что пространство не гильбертово.

Пространство полное нормированное пространство, то есть банахово. Уже отмечалось, что норма порождается скалярным произведением, если и только если выполняется равенство параллелограмма . Пусть . Тогда .