III. Выбор пространств при постановке задач

Когда я думаю о мудрости Творца,

Когда меня Загадка Мира мучит,

Встают перед глазами два ларца

Где в каждом спрятан от другого ключик.

Пит Хэйн

1. Выбор пространств

Мы рассматриваем операторное уравнение общего вида , где линейный оператор, действующий из, вообще говоря, топологического пространства в топологическое пространство . В реальной задаче выбор передающего и принимающего пространств достаточно серьезная проблема. С одной стороны, ими определяются свойства оператора , а с другой стороны, выбор пары пространств не произволен, а определяется как физической моделью, так и возможностями измерений в конкретных экспериментах.

Комментарий. В произвольных банаховых пространствах задача может быть корректной или нет в зависимости от выбора топологий. Обычно используют топологии нормированных пространств .

Пример 1. Волновое уравнение можно представить в таком виде: Выберем банахово пространство с нормой . Легко проверить, что решение волнового уравнения будет иметь вид .

Тогда и для любого может быть сколь угодно большим. Это некорректная задача. Однако такое решение не имеет физического смысла, так как размерности и разные [18].

Пример 2. Пусть - непрерывный линейный оператор и существует , то есть решение единственно. Определим в пространстве норму элемента как . Тогда , следовательно, оператор непрерывен и задача корректна.

Казалось бы, достаточно подобрать соответствующую пару топологических пространств и так, что топология пространства будет сильнее, чем топология пространства , и обратная задача для этой пары пространств будет корректной. Действительно, в задаче Коши для уравнения Лапласа, в задаче Коши для уравнения теплопроводности с обратным временем, а также во многих других задачах подобного типа подобрать пары пространств, в которых задачи станут корректными, сравнительно нетрудно.

Однако такой подход к некорректным задачам оставляет в стороне очень важный с точки зрения приложений аспект. Дело в том, что если уравнение рассматривается в связи с математическим моделированием реального физического явления, то правую часть уравнения часто получают на основании показаний физических приборов. Поскольку приборы обладают погрешностями, мы не можем в таких случаях считать правую часть этого уравнения заданной абсолютно точно. Мы можем считать лишь, что нам задан элемент , удовлетворяющий неравенству , где число определяется точностью приборов. При этом норма пространства, в котором нам известна оценка погрешности правой части, не может задаваться произвольно, она диктуется постановкой системы измерений. Как правило, это или норма в пространстве , то есть нам известна оценка максимальной погрешности измерений, или норма в пространстве , то есть известна оценка средней квадратичной погрешности.

Возможна, хотя и представляет дополнительные технические трудности, постановка системы измерений, когда погрешность мала вместе со своей производной, то есть норма задаётся в пространстве или . Уже здесь оценить погрешность , если , практически невозможно, так как в этом случае и требует измерения величины производной. Постановка же измерений, когда погрешность мала вместе со второй производной (пространства , ), уже мало реальна.

Обычно работают в пространстве Чебышёва , где погрешность измерения правой части или в пространстве Лебега , где погрешность измерения правой части . Поэтому, например, интегральное уравнение Вольтерра I рода, некорректное на паре пространств всё равно нельзя решать на паре пространств , где задача его решения корректна. Кроме того, есть уравнения, задача решения которых некорректна в любой разумной паре пространств (это, например, уравнения Фредгольма I рода). Задача решения операторного уравнения первого рода не может быть корректной, так как оператор, обратный вполне непрерывному оператору в бесконечномерном пространстве, не является непрерывным. Мы это позже покажем.

Напомним некоторые факты из теории пространств.