8.4. Исследование функции с помощью второй
производной
Критическими точками второго рода функции называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.
Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба графика функции.
Если на некотором
промежутке выполняется неравенство
,
то функция
вогнута
на этом промежутке, а если
,
то функция выпукла
на этом промежутке. Исследование функции
с помощью второй производной:
Пример
10. Найдите
точки перегиба и промежутки выпуклости
и вогнутости графика функции
.
Решение. 1. Найдем первую производную функции:
.
2. Найдем вторую производную функции:
.
3. Находим критические точки функции второго рода:
,
откуда
.
4. Нанесем точку на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках (рис. 8.5).
|
Рис. 8.5 |
Ответ:
на промежутке
функция выпукла вверх;
на промежутке
функция выпукла вниз;
– точка перегиба графика функции.
8.5. Исследование функции и построение графика
Приведем схему исследования функции .
1. Находим область определения функции.
2. Определяем, является ли функция четной или нечетной.
3. Выясняем, является ли функция периодической.
4. Находим точки пересечения графика функции с осью ординат.
5. Находим нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
6. Проводим исследование функции с помощью первой производной:
а) находим критические точки первого рода;
б) находим промежутки возрастания и убывания функции;
в) находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума.
7. Проводим исследование функции с помощью второй производной:
а) находим критические точки второго рода;
б) находим промежутки выпуклости и вогнутости функции;
в) находим точки перегиба графика функции.
8. Находим асимптоты графика функции.
9. Строим график функции.
10. Находим промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция положительна и промежутки, на которых функция отрицательна.
11. Находим область значений функции.
Пример
11. Исследуйте
функцию
и постройте ее график.
Решение. 1. Запишем область определения функции: .
2. Так как
и
–
симметричное числовое множество, то
функция четная. Следовательно, график
функции симметричен относительно оси
Оу.
3. Функция не периодическая.
4. Так как
,
то график функции пересекает ось ординат
в точке
.
5. Найдем нули
функции, решая уравнение
.
По теореме Виета
и
.
Тогда
и
.
Следовательно, график функции пересекает
ось абсцисс в точках:
,
,
и
.
6. Исследуем функцию с помощью первой производной.
1) Найдем производную
функции:
,
.
2) Найдем критические
точки функции, решая уравнение:
,
,
откуда
,
.
3) Нанесем критические точки на координатную прямую и определим знаки производной функции на полученных промежутках:
|
Рис. 8.6 |
Из рисунка 8.6 видим,
что на промежутках
и
функция возрастает, а на промежутках
и
функция убывает.
4) Запишем точки экстремума функции:
,
,
.
Найдем значение функции в точках экстремума:
,
,
.
7. Исследуем функцию с помощью второй производной.
1) Найдем вторую производную функции:
.
2) Найдем критические точки функции второго рода:
,
,
.
3) Нанесем критические точки на координатную прямую и определим знаки второй производной функции на полученных промежутках:
|
Рис. 8.7 |
Точки перегиба графика функции: .
Функция выпукла вниз на промежутках
.
Функция выпукла
вверх на промежутке
.
8. Найдем асимптоты графика функции.
Так как
,
то наклонных и горизонтальных асимптот
нет. И вертикальных асимптот нет.
9. Построим схематически график функции (рис. 8.8):
|
Рис. 8.8 |
10. Запишем промежутки знакопостоянства функции:
1) функция положительна
(ее график расположен выше оси абсцисс)
на промежутках
;
2) функция отрицательна
(ее график расположен ниже оси абсцисс)
на промежутках
.
11. Запишем область
значений функции:
.
Контрольный тест 8
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1.
Функция
убывает на промежутке
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.
Наименьшее значение функция
принимает в точке с абсциссой
Варианты ответов: 1) 5; 2) 12; 3) 0; 4) 2; 5) 1.
3.
Максимальное значение, принадлежащее
промежутку
,
функция
принимает в точке с абсциссой
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
4.
Нормаль, проведенная к графику функции
в точке
,
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
5.
Касательная к графику функции
в точке
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
6.
Наименьшее целое значение, принадлежащее
промежутку, на котором функция
вогнута, равно
Варианты ответов: 1) 8; 2) 9; 3) 12; 4) – 2; 5) 10.
7.
Наибольшее значение функции
на промежутке
равно
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
8.
Сумма модулей значений функции
в точках перегиба равна Варианты
ответов: 1)
0; 2)
;
3)
;
4) 0,75; 5) 18.
9.
Количество целых чисел, принадлежащих
промежутку не убывания функции
,
равно
Варианты ответов: 1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 7; 5) бесконечное множество.
10.
Функция
вогнута на промежутке
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.