8.2. Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Рассмотрим функцию и прямую .

Если эта прямая является касательной к графику функции и проведена в точке с координатами (рис. 8.1), то угловой коэффициент k касательной находят по формуле:

или , (8.1)

где – угол между касательной и положительным направлением оси .

Равенство выражает геометрический смысл производной.

Рис. 8.1

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , имеет вид:

. (8.2)

Уравнение нормали, проведенной к графику функции в точке , имеет вид:

. (8.2)

Пример 1. Касательная к некоторой кривой параллельна прямой . Найдите угол наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс.

Решение. Запишем уравнение прямой в виде . Поскольку касательная параллельна данной прямой, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой, т. е. . Так как , где – угол между касательной и положительным направлением оси , то

и .

Ответ: .

Пример 2. Касательная к графику функции наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом . Найдите координаты точки касания.

Решение. Так как , а угловой коэффициент касательной , то .

С другой стороны . Следовательно, , , , , – абсцисса точки касания. Найдем ординату точки касания: .

Ответ: .

Пример 3. Найдите уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: .

1) Найдем значение функции в точке :

.

2) Найдем производную функции:

,

.

3) Найдем значение производной в точке :

.

4) Запишем искомое уравнение касательной:

или .

Ответ: .

Физический смысл производной

Если задан закон прямолинейного движения точки , то скорость этого движения в момент времени t находят по формуле:

, (8.3)

а ускорение движения – по формуле:

. (8.4)

Пример 4. Определите скорость и ускорение тела в момент времени , известен закон его прямолинейного движения (расстояние измеряется в метрах, а время – в секундах).

Решение. 1) Согласно формуле найдем скорость движения тела: .

Тогда (м/с).

2) Согласно формуле найдем ускорение тела:

.

Тогда (м/с²).

Ответ: 11 м/с и 26 м/с².

8.3. Исследование функции с помощью производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если , то функция убывает на этом промежутке.

Пример 5. Найдите промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Найдем производную функции: . Чтобы найти промежутки возрастания данной функции, необходимо решить неравенство или , а чтобы найти промежутки убывания функции – решить неравенство или .

Решая любое из этих неравенство методом интервалов (рис. 8.2), получим: функция возрастает на промежутке и на промежутке ; функция убывает на промежутке .

Рис. 8.2

Заметим, что, записывая промежутки возрастания и убывания функции, концы промежутков можно не включать ни в один из промежутков, а можно и включать в один из промежутков.

Ответ: возрастает на и на ; убывает на .

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 8.3).

Рис. 8.3

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

На рисунке 8.3 значения , , , и являются точками экстремума рассматриваемой функции.

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение:

.

Пример 7. Найдите критические точки функции

.

Решение. Найдем производную данной функции:

.

Найдем критические точки функции, решая уравнение:

, , откуда:

, и .

Ответ: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции ;

2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу:

если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Пример 8. Найдите точки экстремума функции

.

Решение. Зная критические точки функции , и (см. пример 7), нанесем их на область определения данной функции и установим знаки ее производной на полученных промежутках (рис. 8.4). Согласно рисунку 8.4 запишем: , . Критическая точка не является точкой экстремума.

Рис. 8.4

Ответ: , .

Рассмотрим функцию на отрезке [a; b]. Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке: 1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Пример 9. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. 1) Найдем производную данной функции:

.

2) Найдем критические точки функции, решая уравнение

, , откуда .

3) Найдем значение функции на концах отрезка и в критической точке , поскольку она принадлежит данному отрезку: , , .

4) Наибольшее значение на заданном отрезке функция принимает в критической точке и оно равно , а наименьшее – на конце отрезка в точке и оно равно 0.

Ответ: ; .