7.4. Производная неявной функции
Чтобы найти
производную
неявной функции
,
необходимо дифференцировать обе части
равенства
,
считая, что х
– независимая переменная, а у
– зависимая от х
переменная и из полученного уравнения
выразить явно
.
Пример
7. Найдите производную функции
.
Решение.
Запишем:
.
Применяя правила нахождения производной
произведения и суммы и, используя таблицу
производных, получим:
,
,
.
Выразим явно :
,
.
Ответ: .
7.5. Производная функции, заданной параметрически
Производную функции
находят по формуле:
(7.8)
Пример
8. Найдите производную функции
,
.
Решение. 1. Найдем производные:
,
.
2. Согласно формуле
7.8 запишем:
.
Ответ:
.
7.6. Производная показательно-степенной функции
Чтобы найти
производную показательно-степенной
функции
необходимо:
1) прологарифмировать обе части уравнения :
;
2) согласно свойству
логарифмов
записать:
;
3) найти производные
левой и правой части последнего уравнения:
,
;
4) выразить явно .
Пример
9. Найдите производную функции
.
Решение. 1. Прологарифмируем обе части уравнения:
,
.
2. Найдем производные левой и правой части этого уравнения:
,
.
3. Выразим явно
:
.
Ответ:
.
7.7. Производные и дифференциалы высших порядков
Производной второго порядка (второй производной) функции называют производную ее первой производной
.
Аналогично
.
Производную порядка
n
записывают:
.
Дифференциалом
второго порядка (вторым дифференциалом)
функции
называют дифференциал ее первого
дифференциала:
.
Дифференциал
порядка n
записывают:
.
Пример
10. Найдите дифференциал второго порядка
функции
.
Решение. 1. Найдем первую производную функции:
.
2. Найдем вторую производную функции:
,
.
3. Запишем дифференциал второго порядка:
.
Ответ: .
Контрольный тест 7
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1.
Производная функции
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.
Производная
функции
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
3.
Если
,
то значение выражения
равно
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4) 1; 5)
.
4.
Производная функции
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
5.
Если функция имеет вид
,
то значение выражения
равно
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
6.
Если неявная функция имеет вид
,
то значение выражения
в точке
равно
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4) 2; 5) 1.
7.
Производная второго порядка функции
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
8.
Дифференциал функции
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
9.
Производная функции
задается формулой
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
10.
Если функция задана формулой
,
то значение выражения
равно
Варианты ответов:
1) 1; 2) 0; 3) – 3; 4)
;
5)
.
8. Исследование функции с помощью производной
8.1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Рассмотрим функции
и
,
которые непрерывны на отрезке
и дифференцируемы на интервале
.
Теорема Ферма:
если функция
в точке
имеет локальный экстремум, то
.
Геометрический
смысл теоремы: касательная к графику
функции в точке
параллельна оси абсцисс.
Теорема Лагранжа:
,
где
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.
Теорема Ролля:
если
и
,
то
.
Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
Теорема
Коши: если
,
то
.