4.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
Рассмотрим прямые
и
.
1. Прямые пересекаются, если
.
(4.9)
Угол между прямыми находят по формуле:
.
(4.10)
Например,
прямые
и
пересекаются, так как
,
а
и
.
Найдем угол между этими прямыми. Так
как
,
то
.
2. Прямые перпендикулярны, если выполняется условие:
(4.11)
3. Прямые параллельны, если
и
.
(4.12)
Например,
прямые
и
параллельны, так как
и
.
4. Прямые совпадают, если:
и
.
(4.13)
Пример
4. Запишите уравнение прямой, если
известно, что эта прямая проходит через
точку
и перпендикулярна прямой
.
Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде 4.3:
,
.
Так как искомая
прямая
перпендикулярна данной прямой, то
выполняется равенство 4.11:
,
откуда
.
Согласно формуле 4.4 запишем:
или
.
Ответ: .
Расстояние от точки до прямой находят по формуле:
.
(4. 14)
Пример
5. Найдите длину высоты АD
треугольника АВС,
если
,
,
.
Решение.
1. Согласно формуле 4.6 запишем уравнение
стороны ВС
этого треугольника:
,
откуда
,
,
,
.
2. Так как
,
то длину отрезка AD
найдем по формуле 4.14:
.
Ответ:
.
4.3. Кривые второго порядка
Уравнение линии второго порядка:
(4.15)
Рассмотрим некоторые виды линий второго порядка.
1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
В случае окружности уравнение 4.15 примет вид:
.
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости.
Если центр окружности
находится в точке
,
а ее радиус равен R
(рис. 4.4), то уравнение окружности имеет
вид:
.
(4.16)
Если центр окружности
находится в точке
,
а ее радиус равен R
(рис. 4.5), то уравнение окружности имеет
вид:
.
(4.17)
Рис. 4.4 Рис. 4.5
Например,
запишем уравнение окружности с центром
в точке
и радиусом
.
Получим:
.
Пример
6. Найдите сумму координат центра
окружности
.
Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты:
,
,
.
Получили окружность
с центром в точке
и радиусом
.
Ответ: – 3.
2. Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Расстояние от точки до фокуса называют фокальным радиусом.
Каноническое уравнение эллипса:
,
(4.18)
где a – большая полуось; b – меньшая полуось.
Фокусы имеют
координаты
и
,
где
.
(4.19)
На рисунке 4.6:
– большая ось эллипса;
– малая ось эллипса;
– расстояние между фокусами.
Рис. 4.6
Эксцентриситет эллипса находят по формуле:
.
(4.20)
Если же
,
то
,
а
.
Пример 7. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 10, а эксцентриситет равен 0,4.
Решение.
Так как
,
то
.
Так как
и
,
то
.
Зная, что
,
запишем
,
откуда
.
Каноническое
уравнение эллипса:
.
Ответ: .
3. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы:
,
(4.21)
где a – действительная полуось; b – мнимая полуось.
Фокусы имеют координаты и , где
.
(4.22)
На рисунке 4.7: – действительная ось гиперболы; – мнимая ось; – расстояние между фокусами; точки А1 и А2 – ее вершины.
Рис. 4.7
Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:
. (4.23)
Уравнения асимптот гиперболы:
.
(4.24)
Пример 8. Запишите уравнение гиперболы и найдите расстояние между фокусами, если действительная ось гиперболы равна 10, а ее мнимая полуось равна 2.
Решение.
Так как
,
то
.
По условию задачи
.
Запишем каноническое
уравнение гиперболы:
.
По формуле 4.22
найдем с:
.
Найдем расстояние
между фокусами:
.
Ответ:
;
.
4. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
(4.25)
где ось OX – ось симметрии параболы; p – расстояние от фокуса до директрисы (рис. 4.8).
Фокус имеет
координаты
.
Уравнение директрисы параболы имеет
вид
.
Если осью симметрии параболы является ось OУ, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
(4.26)
В этом случае фокус
имеет координаты
,
а уравнение директрисы d
параболы имеет вид
(рис. 4.9).
Рис. 4.8 Рис. 4.9
Пример
9. Запишите уравнение параболы, если
фокус имеет координаты
.
Решение. 1. Так как фокус параболы расположен на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид .
2. Так как фокус
имеет координаты
,
то
,
а
.
3. Запишем уравнение
параболы:
.
Ответ:
.
Контрольный тест 4
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1.
Если прямая пересекает оси координат
в точках
и
,
то ее уравнение с угловым коэффициентом
имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
2.
Если прямая проходит через точки
и
,
то уравнение этой прямой в общем виде
записывают
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
3.
Если угловой коэффициент прямой,
проходящей через точку
,
равен 5, то уравнение этой прямой в
отрезках имеет вид
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
4. Даны прямые:
|
(1) |
|
(2) |
|
(3) |
|
(4) |
|
|
(5) |
|
;
;
;
;
.Параллельными являются прямые
Варианты ответов: 1) (1), (3) и (5); 2) (1) и (2); 3) (2) и (5);
4) (1), (3), (4) и (5); 5) (3) и (4).
5. Даны прямые:
|
(1) |
|
(2) |
|
(3) |
|
(4) |
;
;
;
Перпендикулярными являются прямые
Варианты ответов: 1) (1) и (2); 2) (1) и (3); 3) (2) и (3);
4) (3) и (4); 5) (2) и (4).
6.
Сумма
расстояний от точки
до прямых
и
равна
Варианты ответов: 1) 8; 2) 5; 3) 1,5; 4) 3,25; 5) 4,5.
7.
Если уравнение окружности имеет вид
,
то сумма координат точки, которая
является ее центром, равна
Варианты ответов: 1) 3; 2) – 3; 3) – 15; 4) 15; 5) 0.
8.
Если эллипс пересекает ось Ox
в точках
и
,
а ось Oy
в точках
и
,
то его фокусы находятся в точках
Варианты ответов:
1)
,
;
2)
,
;
3)
,
;
4)
,
;
5)
,
.
9.
Если гипербола проходит через точки
и
,
причем длина ее мнимой полуоси b
в 2 раза меньше длины действительной
полуоси a,
то значение выражения
равно
Варианты ответов: 1) 9; 2) 4; 3) 3,5; 4) 7,5; 5) 4,5.
10.
Если уравнение параболы имеет вид
,
то ее фокус находится в точке, сумма
координат которой, увеличенная в 2 раза,
равна
Варианты ответов: 1) 2,5; 2) 5; 3) 10; 4) 20; 5) 25.