4. Линии на плоскости

4.1.Задание прямой на плоскости

1. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

, (4.1)

где , а – нормальный вектор этой прямой.

Если известна точка , принадлежащая прямой, и нормальный вектор прямой , то уравнение этой прямой можно найти по формуле:

. (4.2)

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

. (4.3)

Угловой коэффициент k прямой находят по формуле , где – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

При этом:

1) если , то функция монотонно возрастает (рис. 4.1);

2) если , то функция монотонно убывает (рис. 4.2);

3) если , то функция примет вид . Придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ох (рис. 4.3);

4) если , то функция примет вид . Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью.

Рис. 4.1	Рис. 4.2	Рис. 4.3

Если известна точка , принадлежащая прямой, и угловой коэффициент k прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:

. (4.4)

3. Каноническое уравнение прямой имеет вид:

, (4.5)

где – точка, принадлежащая этой прямой, а – направляющий вектор прямой.

Если известны координаты точек и , принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:

. (4.6)

4. Уравнение прямой в отрезках имеет вид:

, (4.7)

где а и b – алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат (a на оси Ox и b на оси Oy).

5. Чтобы записать параметрические уравнения прямой, можно воспользоваться равенством 4.5 или 4.6. Например, полагая , получим:

, . (4.8)

Пример 1. Найдите угол, который образует прямая с осью абсцисс, если известно, что она проходит через точку и перпендикулярна вектору .

Решение. 1. Зная, что вектор – нормальный вектор прямой, и имея точку , принадлежащую этой прямой, уравнение этой прямой найдем по формуле 4.2:

, , .

2. Запишем полученное уравнение прямой в виде 4.3:

, .

3. Зная, что , получим: .

Ответ: .

Пример 2. Запишите уравнение прямой в отрезках, если известно, что ей принадлежат точки и .

Решение. 1. Уравнение данной прямой найдем по формуле 5.6:

, , , .

2. Чтобы получить уравнение прямой в отрезках, разделим обе части полученного уравнения на число 20:

, , .

Ответ: .

Пример 3. Запишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку перпендикулярно прямой .

Решение. 1. Так как искомая прямая перпендикулярна прямой , то нормальный вектор этой прямой будет направляющим вектором искомой прямой: .

2. Согласно формуле 4.5 запишем уравнение искомой прямой:

.

3. Найдем параметрические уравнения этой прямой. Полагая , запишем: и , откуда , а .

Ответ: , а .