3. Векторы

3.1. Основные понятия и определения

Вектором называют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают: или .

	На рисунке 3.1 изображен вектор , у которого точка А – начало, а точка В – его конец, и вектор , у которого точка С – его начало, а точка D – его конец.
Рис. 3.1

Нуль – вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор изображают точкой и записывают (рис. 3.1).

Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице.

Рассмотрим двумерное пространство с заданной в нем системой координат (рис. 3.2). На оси Ох отложим единичный вектор , начало которого совпадает с началом отсчета, а направление – с положительным направлением оси Ох. Аналогичным образом отложим на оси Оу вектор . Векторы и называют координатными векторами (ортами) прямоугольной системы координат. Любой вектор на плоскости можно разложить по ортам:

.

Говорят, что х и у – координаты вектора и записывают:

.

Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором. На рисунке 3.2 вектор – радиус-вектор.

Рис. 3.2	Рис. 3.3

Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы , и – координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат.

Любой вектор пространства можно разложить по ортам:

.

Говорят, что х, у и z – координаты вектора и записывают:

.

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор задан в двумерном пространстве, и точка – его начало, а точка – его конец, то он имеет две координаты и , которые записывают в круглых скобках вслед за названием вектора или без названия вектора:

или .

Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка – его начало , а точка – его конец, то записывают: .

Например: 1) Если известны координаты точек и , то вектор будет иметь координаты: или . Вектор координаты: или . Вектор будет иметь координаты: .

2) Если известны точки и , то вектор будет иметь координаты:

или .

Координаты середины отрезка (середины вектора): если точки и – концы отрезка, а точка М – его середина, то точка М будет иметь координаты:

.

Например: 1) Если известны координаты точек и , то точка М, являющаяся серединой отрезка , будет иметь координаты:

или .

2) Если известны координаты точки , которая является серединой отрезка АВ, и координаты точки , то координаты точки найдем, решая уравнения:

, и ,

откуда , и .

Запишем: .

Длину вектора записывают и читают: модуль вектора или длина вектора .

Если известны координаты точек – начала и – конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле:

. (3.1)

Если известны координаты вектора , то длину вектора находят по формуле:

. (3.2)

Пример 1. Известны координаты вершин треугольника ABC: , и . Найдите периметр этого треугольника.

Решение. Согласно формуле 3.1 запишем:

;

;

.

Зная длины сторон треугольника, найдем его периметр:

, .

Ответ: .

Пример 2. Найдите длину вектора .

Решение. Согласно формуле 3.2 запишем: . Поскольку длина вектора равна единице, вектор – единичный.

Ответ: 1.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

	На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы , , и .
Рис. 3.4

Условие коллинеарности векторов: векторы и коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство

. (3.3)

При этом, если:

а) , то векторы сонаправлены;

б) , то векторы противоположно направлены.

Например: 1) На рисунке 3.4 векторы и , а также и сонаправлены. Записывают: и .

2) На рисунке 3.4 вектор и , а также векторы и противоположно направлены. Записывают: и .

3) Векторы и коллинеарны, так как . А поскольку , то они противоположно направлены.

Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными.

	Вектор, противоположный вектору , записывают: или . А вектор, противоположный вектору , записывают: (рис. 3.5).
Рис.3.5

Например, векторы и противоположны, так как , и .

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными

	На рисунке 3.6 изображен прямой параллелепипед. Векторы , и , а также векторы , и компланарны. Векторы , и , а также векторы , и не компланарны.
Рис. 3.6

Условие компланарности трех векторов: векторы , и компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:

(3.4)