1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащих п уравнений и n переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель основной матрицы системы;
2) найти определители
(
),
полученные в результате замены i-го
столбца определителя
столбцом свободных членов системы;
3) найти значения
переменных уравнений системы по формулам
.
Пример 1. Найдите решение системы линейных уравнений
по формулам Крамера.
Решение. Запишем формулы Крамера:
,
,
,
где – определитель основной матрицы системы;
,
и
– определители, полученные в результате
замены первого, второго и третьего
соответственно столбцов определителя
матрицы А
столбцом свободных членов.
Вычислим определители:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Найдем значения переменных:
,
,
.
Проверка:
Ответ:
,
,
.
2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений;
Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы:
1) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число;
2) менять местами строки;
3) складывать и вычитать строки;
4) вычеркивать строки, все элементы в которых нули.
Пример
3. Найдите
решение системы линейных уравнений
методом Гаусса.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
.
С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
.
Решим систему
уравнений:
Получим:
,
,
.
Проверка:
Ответ: , , .
Пример
4. Решите
систему линейных уравнений
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
.
Запишем систему
уравнений, соответствующую трапециевидной
матрице:
Полагая
,
где
,
получим:
Тогда
,
а
.
Ответ: , , , где .
Контрольный тест 2
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Если
– решение системы линейных уравнений
то значение
выражения
равно
Варианты ответов: 1) 1,25; 2) 1; 3) 20; 4) 0,5; 5) – 0,75.
2. Система линейных уравнений
имеет следующее решение
Варианты ответов:
1)
;
;
;
2)
;
;
;
3)
;
;
;
4)
;
;
;
5)
;
;
.
3. Сумма всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений
равна
Варианты ответов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
4.
Если
– решение системы уравнений
то значение
равно
Варианты ответов: 1) 5; 2) 3; 3) 1; 4) – 1; 5) 0.
5.
Если
– решение системы уравнений
то значение
равно
Варианты ответов:
1) 0; 2) – 3; 3) – 51; 4) 1; 5)
.
6. Если – решение системы уравнений
то значение
равно
Варианты ответов: 1) 15; 2) – 11; 3) 0; 4) – 2; 5) 11.
7. Если – решение системы уравнений
то
значение выражения
равно
Варианты ответов:
1) 0; 2)
;
3) 1; 4) 12; 5)
,
где
.
8.
Если
– определитель основной матрицы системы
уравнений
а
– ее решение, то значение выражения
равно
Варианты ответов: 1) 28; 2) 34; 3) 17; 4) – 14; 5) 0.
9.
Система уравнений
1) совместная;
2) не совместная;
3) определенная;
5) не определенная.
10. Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений
равна
Варианты ответов: 1) 2; 2) 8; 3) 28; 4) 4; 5) 0.