1.3. Числовые характеристики матриц

Определитель матрицы

Для определителя матрицы употребляются обозначения: , , .

Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формулам:

; (1.13)

; (1.14)

, (1.15)

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы А.

Замечание. В формуле (1.15) определитель разложен по элементам первой строки.

Пример 4. Найдите определитель матрицы .

Решение. Имеем матрицу второго порядка. Применим формулу (1.13):

.

Ответ: – 98.

Пример 5. Найдите определитель матрицы .

Решение. Имеем матрицу третьего порядка. Применим формулу (1.14):

.

Ответ: 48.

Минор

Минор элемента квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует i-я строка и j-й столбец.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы находят по формуле:

. (1.16)

Пример 6. Найдите значение выражения , если .

Решение. 1. Найдем минор , вычеркнув из определителя матрицы А третью строку и третий столбец:

.

2. Найдем минор , вычеркнув из определителя матрицы А вторую строку и первый столбец:

.

3. По формуле найдем алгебраические дополнения и :

; .

4. Найдем значение выражения :

.

Ответ: 760.

Пример 7. Найдите определитель матрицы

.

Решение. 1. Имеем матрицу четвертого порядка. Разложим ее определитель по элементам четвертого столбца, поскольку этот столбец содержит наибольшее количество нулей.

.

2. По формуле найдем алгебраическое дополнение :

, .

3. Получим: .

Ответ: – 21.

Свойства определителей

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

Например, .

2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак.

Например, .

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Например, .

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Например, .

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Например, .

6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же число, то определитель не изменится.

Например, .

Контрольный тест 1

Установите соответствие (1 – 8):

1. Согласованность матриц

, и :

МАТРИЦА	ЕЕ РАЗМЕР	СОГЛАСОВАНА С МАТРИЦЕЙ
1) А;	а) ;	ж) С;
2) В;	б) ;	з) А;
3) С.	в) ;	и) и А, и В;
	г) ;	к) и В, и C;
	д) .	л) и А, и С.

2. Транспонирование матриц:

МАТРИЦА	ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА
1) ;	а) ;
2) ;	б) ;
3) .	в) ;
	г) ;
	д) .