5. Плоскость и прямая в пространстве
5.1. Уравнения плоскости в пространстве
1. Общее уравнение плоскости имеет вид:
.
(5.1)
где
– нормальный вектор плоскости.
Если известна
точка
,
принадлежащая плоскости, и нормальный
вектор этой плоскости
,
то уравнение плоскости задают в виде:
.
(5.2)
Пример
1. Запишите уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно плоскости
.
Решение.
Так как искомая плоскость параллельна
плоскости
,
то нормальный вектор этой плоскости
является нормалью и искомой плоскости.
Согласно формуле 5.2 запишем уравнение искомой плоскости:
,
,
.
Ответ: .
2.
Если известны три точки
,
и
,
принадлежащие плоскости, то уравнение
этой плоскости можно найти по формуле:
(5.3)
Пример
2. Запишите нормальный вектор плоскости,
проходящей через точки
,
и
.
Решение. Согласно формуле 5.3 запишем:
,
,
откуда
,
,
.
Запишем нормальный
вектор этой плоскости:
.
Ответ: .
3.
Если известно, что вектор
параллелен плоскости, проходящей через
точки
и
,
то уравнение этой плоскости можно найти
по формуле:
.
(5.4)
Пример
3. Запишите уравнение плоскости, проходящей
через точки
и
перпендикулярно плоскости
.
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна
плоскости
,
то нормальный вектор этой плоскости
является направляющим вектором
искомой плоскости.
Согласно формуле 5.4 получим:
,
,
откуда
,
.
Ответ: .
4. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
,
(5.5)
где а, b и с – алгебраические величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат (a на оси Ox, b на оси Oy и с на оси Оz).
Пример 4. Найдите сумму длин отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.
Решение. Запишем
и разделим обе части этого равенства
на число 40:
,
.
Найдем сумму длин
отрезков, которые отсекает эта плоскость
на осях координат
.
Ответ: 68.
5.2. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Рассмотрим две
плоскости
и
с нормальными векторами
и
.
1. Плоскости параллельны, если
.
(5.6)
2. Плоскости перпендикулярны, если
.
(5.7)
3. Плоскости образуют угол , если
.
(5.8)
Пример
5. Найдите угол между плоскостями
и
.
Решение. 1. Запишем уравнения этих плоскостей в общем виде:
и
.
2. Запишем нормальные векторы этих плоскостей:
и
.
3. Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
.
4. Найдем длины этих векторов:
,
.
5. Согласно формуле 5.8 запишем:
,
откуда
.
Ответ: .
5.3. Уравнения прямой в пространстве
1. Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:
,
(5.9)
2. Каноническое уравнение прямой имеет вид:
,
(5.10)
где – точка, принадлежащая этой прямой, а – направляющий вектор прямой.
3. Если известны координаты точек и , принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
.
(5.11)
4.
Чтобы записать параметрические
уравнения
прямой, можно воспользоваться равенством
5.10 или 5.11. Например, полагая
,
получим:
,
,
.
(5.12)
Пример
6. Прямая проходит через точки
и
.
Запишите параметрические уравнения
этой прямой.
Решение. Согласно формуле 5.11 запишем:
,
.
Полагая
,
получим:
,
,
.
Ответ: , , .
Пример7.
Найдите направляющий вектор прямой
Решение.
1. Выразим переменную t
из каждого уравнения системы. Получим:
,
и
.
2. Приравнивая
правые части этих уравнений, запишем
уравнение прямой:
.
3. Приведем это уравнение к каноническому виду:
,
.
4. Запишем направляющий
вектор этой прямой:
.