И. К. Сиротина
Основы высшей математики дизайн
2013
1. Матрицы и определители
1.1 Основные понятия и определения
Матрицей
размеров
называют систему чисел, записанных в
виде прямоугольной таблицы, имеющей n
строк и m
столбцов:
,
,
.(1.1)
Виды матриц
Рассмотрим несколько основных видов матриц:
1) квадратная матрица порядка n содержит n строк и n столбцов:
;
(1.2)
2) треугольная матрица – это квадратная матрица, которая содержит под главной диагональю (или над главной диагональю) только нули:
или
;
(1.3)
3) диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой элементы, не стоящие на главной диагонали – нули:
;
(1.4)
4) единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы:
;
(1.5)
5) нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы – нули:
;
(1.6)
6) матрица-строка содержит только одну строку:
;
(1.7)
7) матрица-столбец содержит только один столбец:
.
(1.8)
1.2. Действия с матрицами
Транспонирование матрицы
Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.
Например, транспонируя матрицу (1.1), получим:
.
(1.9)
Сложение (вычитание) матриц
Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы. Складывать и вычитать можно матрицы только одинаковых размеров.
Например,
;
(1.10)
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Например,
;
(1.11)
Пример
1. Найдите
,
если
,
а
.
Решение. 1. Умножим матрицу А на число 5:
.
2. Транспонируем матрицу В:
.
3. Умножим матрицу
на число – 2:
.
4. Найдем значение
выражения
:
.
Ответ:
.
Умножение матрицы на матрицу
Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица А согласована с матрицей В, если количество столбцов матрицы А, равно количеству строк матрицы В.
В результате
умножения матрицы
на
матрицу
,
получают матрицу
,
элементы которой находят по формуле:
.
(1.12)
Например,
.
Пример
2. Сравните
произведения АВ
и ВА
матриц
и
.
Решение. Поскольку имеем квадратные матрицы одного и того же порядка (они согласованы), то можем найти и произведение АВ, и произведение ВА.
1. Найдем АВ:
.
2. Найдем ВА:
.
Ответ:
.
Пример 3. Найдите всевозможные произведения матриц:
,
и
.
Решение. Матрица А имеет три столбца, а матрица В содержит три строки. Значит матрица А согласована с матрицей В и, следовательно, существует произведение АВ. Матрица С (содержит два столбца) согласованна с матрицей А (содержит две строк), значит существует произведение СА. Не согласованные матрицы: В и А, А и С, В и С, С и В.
1. Найдем АВ:
.
2. Найдем СА:
.
Ответ:
;
.
Элементарные преобразования матриц
К элементарным преобразованиям матриц относят:
1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число;
3) перестановку местами двух строк (столбцов).