14.3 Колебания системы с одной степенью свободы

Колебания системы, происходящие при отсутствии внешних возмущаю-щих сил и обусловленные только упругими свойствами системы, называются свободными. Груз Q подвешен к упругому невесомому стержню АВ (рис. 14.3) . Удлиним стержень на величину и предоставим тело самому себе. Оно будет совершать колебательные движения в вертикальном направлении. Положение тела определяется одним параметром - перемещение тела относительно по-ложения статического равновесия (система имеет одну степень свободы).

Так как рассматриваются колебания тела относительно положения стати-ческого равновесия, то влияние собственного веса тела исключается. Реакция

со стороны стержня АВ по закону Гука равна

Сила инерции равна

Сумма этих сил должна быть равна нулю:

или

где круговая частота колебаний (число колебаний в 2π секунд), удлинение стержня АВ от статической нагрузки Q.

Интеграл уравнения:

Если при t =0, то из уравнения

и

найдём с₁=

В итоге получаем:

Рассмотрим случай, когда в процессе колебания действует возмущающая сила F(t)=F_mах где F_mах и Ω- максимальное значение и круговая частота изменения возмущающей силы соответственно.

Уравнение движения без учёта сил сопротивления имеет вид:

Общий интеграл уравнения (для случая, когда

Колебания, обусловленные действием возмущающей силы, называются вынужденными. Их частота равна частоте изменения возмущающей силы.

Наибольшее динамическое перемещение

,

где: ω²m = c – коэффициент жёсткости системы (с = );

- коэффициент динамичности.

Н а рис. 14.4 привязан график зависимости коэффициента динамичности χ от отношения частот. В случае совпадения частот вынужде-нных и собственных (ω=Ω) амплитуда вынужденных ко-лебаний резко возрастает (рис. 14.4, (1)). Это явление носит название резонанса.

Реально влияние окружа-ющей среды, внутреннее тре-ние в колеблющемся элемен-те приводит к рассеиванию энергии и кривая (2) описы-вает реальную картину

Явление роста во времени амплитуды колеба-ний при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний опасно. Для его

Рис.14.4 устранения прибегают к демп-фированию конструкций, т.е. применяют специальные устройства, увеличива-ющие рассеивание энергии при колебаниях, и коэффициент динамичности мо-жет соответствовать кривой (3).

При выполнении практических расчётов при известном коэффициенте χ , легко определяется величина максимальных динамических напряжений и пе-ремещений в упругих элементах системы.

σ_q = σ_ст· χ ; у_q = у_ст· χ ,

где под σ_ст и у_ст понимается то перемещение и напряжение, которые возникали бы при статическом приложении максимального значения возмущающей силы.

Совпадение частот ω = Ω называют условием резонанса, а зону 0.8 1.2 – зоной критических частот. С помощью конструктивных меро-приятий стараются отстроиться от этой зоны. Более целесообразным является уход в зону уменьшения отношения от значения, равного единице. Демп-фирование (постановка амортизаторов – гидравлических, пневматических, пру-

жинных и т. д.) позволяет снизить величину динамических напряжений.