10.6. Композитный брус

Сохранив условия задачи для чистого прямого изгиба приз­матического бруса (см. п.7.4.), предположим его выполненным из двух материалов с модулями продольной упругости E₁ и Е₂. По­перечное сечение имеет геометри-ческую и упругую симметрию от­носительно вертикальной оси (рис.10.10, а,в).

Положение нейтральной оси устанавливается из условия N = 0. Можно принять , где – ордината точки, измеряемая от оси , проходящей через центр тяжести сечения; – ордина­та, определяющая положение нейтральной оси относительно оси , и записать

откуда

а б в г

Рис.10.10

Здесь A₁ и А₂ − площади сечения, соответствующие материалам с модулями E₁ и Е₂.

Условие M_y = 0 представляется в виде

и служит для установления ориентации осей z и у. В данном слу­чае ось у совпадает с осью симметрии сечения, а ось z перпен­дикулярна ей.

Интегральная формула для M_z имеет вид

где и – моменты инерции площадей А₁ и А₂ относительно нейтральной оси.

Таким образом,

Напряжения на отдельных участках сечения будут

Характер эпюр σ виден из рис.10.10, б, г (предполагается, что E₂>E₁).

10.7. Предельное сопротивление балки

Для большинства балок касательными напряжениями в попере­чных сече-ниях пренебрегают. Отличие от чистого изгиба состоит только в изменении из-гибающего момента от сечения к сечению. Расположение пластических облас-тей можно определить, подставив в зависимость для граничной ординаты

у_y = f(M_z) выражение М_z.

Рассмотрим балку прямоугольного сечения в случае, когда диаграмма σ ~ ε обладает участком идеальной пластичности (см. рис.5.3, а). Читатель может убедиться, что ордината на границе упругой и пластической областей равна

Отсюда вытекает соотношение

Примем нагрузку в виде силы F, приложенной посредине балки (рис.10.11). Положив начало координат в точке под силой F, получим в случае исчерпания несущей способности в этом сечении:

А так как

Рис. 10.11

то

После подстановки выражения М_z в выведенное выше соотношение находим

т.е. границей раздела упругой и пластической областей является парабола. Из условия у_у= h/2 определяется расстояние, на которое простирается пластическая область по длине балки в каждую сторону от линии приложения силы: х = ±l/6.

При M_z= M_z(у) получаем k_x= ∞, т.е. сечение имеет безгранично нарастающие повороты. Это явле­ние связывают с появлением так называемого пластического шарнира. Последний отличается от конструктивного тем, что, во-первых, удерживает определенный предельный момент M_z(y) и не препятст-

ствует поворотам, начиная только с тех значений момен­тов, которые превосхо-дят значение M_z(y). Во-вторых, пластичес­кий шарнир является односторонним в процессе деформирования и исчезает при перемене знака деформации.