13.5 Продольно поперечный изгиб сжатых стержней.

Если на массивный элемент одновременно действуют сжимающая сила и поперечные нагрузки, то напряжения определяют на основании принципа неза-висимости действия сил, суммируя алгебраически составляющие от каждого вида нагрузки.

Д ля гибких стержней такой метод расчёта неприемлем, так как сжимаю-щая сила за счёт существования значительных прогибов вызывает в стержне не только равномерное сжатие, но дополнительные изгибающие моменты, соизме-римые с моментами от поперечных сил. Расчёт проводят по деформированной схеме. Поскольку поперечный изгиб сопровождается и изгибом от продольных сил, то этот расчёт ещё называют продольно- поперечным изгибом.

Изгибающий момент в по- перечном сечении стержня (рис. 13.6) при продольно- поперечном изгибе можно представить в виде

М=М_о+FV

где: М_о- изгибающий момент вы-зываемый только поперечной нагрузкой S.

Суммарный момент М можно определить зная прогиб V, а последний в свою очередь зависит от момента.

Если кривизна оси стержня достаточно мала, то уравнение равновесия запишется так:

Решение должно выполнятся индивидуально для каждой схемы нагруже-ния. Оно значительно усложняется, если участков несколько.

Представим прогиб в виде суммы

V=V_o=ΔV,

где: V_o- прогиб, вызванный только поперечной нагрузкой;

ΔV- дополнительный прогиб, появившийся в результате действия сжимающей силы F.

Для прогиба V_o справедливо уравнение

(а)

следовательно

(б)

Сделаем предположение, что дополнительный прогиб ΔV изменяется по закону синусоиды

тогда

(в)

Поскольку

ΔV=V-V_o (см. (а)) и (из ур. (б)),

то ,

или

Допущения о синусоидальности изменения ΔV хорошо согласуется для стержня, имеющего шарнирное закрепление опор. Для других схем закрепле-ния концов стержня следует определить F_э каждый раз с учётом закрепления по формуле

,

где: J- момент инерции относительно главной центральной оси, соответствую-щей изгибу в данной плоскости;

μ- коэффициент приведения длины.

Величину V_o можно определить любым известным способом, после чего определяют V, а затем и напряжения в соответствующем сечении.

При решении задач на продольно - поперечный изгиб необходимо на-чать расчёт с проверки на устойчивость в плоскости наименьшей жёсткости

и если она удовлетворяется, переходят к дальнейшему расчёту.

Наибольшие (сжимающие ) напряжения определяются выражением

П оскольку напряжения нелинейно связаны с величиной силы F, то по величине напряжений нельзя судить о том, какой запас прочности имеется при заданной нагрузке. Из графика (рис. 13.7) видно, что напряжения в большей степени отличаются друг от друга, чем силы, их вызывавшие. Напряжения растут более интен-сивно, чем сжимающая сила. Это главное отличие работы гибких стержней при продольно попереч-ном изгибе.

Оценку запаса прочности следует проводить по величине отношения

Рис. 13.7 где: - сила вызывающая напряжение, соответствующие пределу текучести; F- действующая нагрузка.