12.3 Канонические уравнения

Основная система с заданной нагрузкой и лишними неизвестными, экви-валентна заданной статически неопределимой системе. Следовательно, пере-мещения по направлению каждой неизвестных сил Х_i от заданной нагрузки и всех неизвестных усилий в лишних связях должны равняться нулю.

…………………………………

Для линейно деформируемых систем перемещение пропорционально си-ле, его вызвавшей.

Тогда:

где: - перемещение в направлении i-той силы, вызванное к-той силой; -то же от внешней нагрузки; - перемещение в основной системе, соответст-вующее силе Х_i при действии силы Х_к=1:

с учётом сказанного

Х₁+ Х₂+…+ Х_n+

Х₁+ Х₂+…+ Х_n+

……………………………….

Х₁+ Х₂+…+ Х_n+

Уравнения имеют стационарную (каноническую) форму, одинаковую для всех статически неопределимых систем.

Представленная система канонических уравнений метода сил содержит главные коэффициенты при неизвестных (с одинаковыми индексами) и побочные (с разными индексами), при этом . Величины называют свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений опреде-ляют по интегралам Мора, а в частных случаях- по правилу Верещагина. Пред-варительно должны быть построены эпюры от единичных наг-

рузок и эпюры M_F от заданной нагрузки.

Главные коэффициенты δ_ii всегда положительны. Побочные же коэффи-циенты (перемещения) δ_iк могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Коэффициенты и свободные члены подлежат проверке. Универсальная проверка всех коэффициентов при неизвестных состоит, в том что сумма Σδ_ii+ 2Σδ_iк, представляющая собой условное перемещение по направлению всех не-известных от всех единичных сил , должна быть равна величине

δ_ss=

где: M_s=

Чтобы возможные ошибки, допущенные при построении единичных эпюр, не перенесли на эпюру и не свести тем самым на нет всю проверку, следует строить эпюру независимо от т.е. непосредственно от единичных сил , действующих на основную систему одновре-менно.

Если универсальная проверка приводит к недопустимо большому расхо-ждению между суммой контролируемых перемещений и условным перемеще-нием, то для нахождения ошибки можно произвести построчные проверки, ко-торые состоят в том, что сумма коэффициентов при неизвестных каждого уравнения δ_i1+δ_i2+…+δ_in должна быть равна величине:

δ_is=

Если построчные проверки дают расхождения только в одной строке, то ошибка связана с вычислением главного коэффициента этой строки. Если же расхождения наблюдаются одновременно в двух строках, то ошибка скорее всего допущена при вычислении того побочного коэффициента, который вхо-дит в обе строки.

Проверка свободных членов уравнений состоит в том, что их сумма должна быть равна величине

Δ_sF =

После проверки коэффициентов при неизвестных и свободных членов

канонических уравнений производят их решение и находят .