Раздел III. Стержневые системы

12. Расчёт статически неопределимых систем методом сил

12.1 Основная система и сущность метода

Статически неопределимыми называют системы, в которых невозможно определить все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в эле-ментах системы из уравнений статического равновесия. Но термин “лишние связи” является условным, поскольку при их отсутствии прочность и жёст-кость системы значительно снижается. Этот термин означает, что связи лишние только в плане превышения их количества числа независимых уравнений ра-вновесия.

Степень статической неопределимости можно определить как разность между числом искомых усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.

Для плоской системы положение жёсткого тела характеризуется тремя независимыми параметрами – двумя координатами и углом поворота, следова-тельно для равновесия на плоскости достаточно наложение трёх внешних свя-зей, что соответствует и трём независимым уравнениям равновесия. Если плос-кая система состоит из Д жёстких тел (дисков), то количество параметров, оп-ределяющих положение этой системы будет равно ЗД. Если они соединены ша-рнирами, то каждый шарнир, соединяющий две части системы, разрешая взаимный поворот, устраняет возможность взаимного смещения, т.е. уменьша-ет количество возможных перемещений системы, накладывая две дополнитель-ные связи. Каждый из опорных стержней устраняет возможность перемещения системы в соответствующем направлении. Тогда степень статической неопре-делимости, определяемую внешними связями можно подсчитать по формуле:

К=ЗД-2Ш-С,

где: Д- число частей системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жёсткое тело.

Ш- количество простых шарниров в системе, соединяющих два “диска”.

С- число опорных стержней (связей).

Если К=0, то имеем статически определимую систему, если К<0 – статически неопределимую.

Для расчёта статически неопределимой системы дополнительно к урав-нениям статики необходимо составить К уравнений совместности перемещения в точках системы.

Для заданной системы (рис. 12.1 а)

К=

Следовательно система дважды статически неопределима, имеются две лиш-них связи. Если у заданной системы отбросить две “лишних” связи то образуем основную систему. Основная система статически определима, но при её обра-зовании необходимо обеспечить, что бы она не превратилась в механизм. Эта система может быть эквивалентна исходной, если к ней будут приложены в на-правлении отброшенных связей усилия Х₁ и Х₂ (рис. 12.1, б) значения которых следует определить из ограничений (совместности перемещений), которые на-кладывали отброшенные связи: т.е. перемещения в гори-

з онтальном направлении правой опорной точки и угол поворота опорного сече-ния правой стойки равны нулю.

Эти усилия рассматрива-ются как основные и дают назва-ние метода расчёта- метод сил. Определив усилия в “лишних связях”, задача оказывается ста-тически определимой. Для опре-деления перемещений следует воспользоваться универсальным методом-методом Мора, полу-чившего название по имени не-меецкого учёного, предложившего его. Рис. 12.1