11.4. Изгиб с кручением брусьев круглого сечения

Такое сочетание внутренних силовых факторов характерно при расчете валов. Задача является плоской, поскольку понятие «косой изгиб» для бруса круглого поперечного сечения, у которого любая центральная ось является главной- неприменимо. В общем случае действия внешних сил такой брус ис-пытывает сочетание следующих видов деформации: прямого поперечного изгиба, кручения и центрального растяжения (сжатия). На рис. 11.5 показан брус, нагруженный внешними силами, вызывающими все четыре вида дефор-мации.

Эпюры внутренних усилий позволяют выявить опасные сечения, а эпюры напряжений – опасные точки в этих сечениях. Касательные напряжения от поперечных сил достигают своего максимума на оси бруса и незначительны для бруса сплошного сечения и ими можно пренебречь, по сравнению с касательными напряжениями от кручения, достигающих своего максимума в периферийных точках (точка В).

Опасным является сечение в заделке, где одновременно имеют большое значение продольная и поперечная силы, изгибающий и крутящий моменты.

Рис. 11.5

Опасной точкой в этом сечении, будет точка, где σ_х и τ_ху достигают значитель-ной величины ( точка В). В этой точке действует наибольшее нормальное на-пряжение от изгиба и касательное напряжение от кручения , а также нормальное напряжение от растяжения

Определив главные напряжения по формуле:

σ_гл=

находим σ_red=

(при использовании критерия наибольших касательных напряжений m = 4, при использовании критерия удельной энергии изменения формы m = 3).

Подставив выражения σ_α и τ_ху, получаем:

σ_red=

или с учётом того, что W_р=2 W_z, A= (см. 10.4),

σ_red=

В случае, если вал испытывает изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то в формулу вместо М_z надо подставить M_tot=

Приведенное напряжение σ_red не должно превышать допускаемого напряжения σ_adm, определённого при испытаниях при линейном напряжённом состоянии с учётом коэффициента запаса прочности. При заданных размерах и допускаемых напряжениях выполняют поверочный расчёт, Размеры необхо-димые для обеспечения безопасной прочности находят из условия

W_z=

11.5. Расчёт безмоментных оболочек вращения

В технике широко применяются элементы конструкций, которые с точки зрения расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонким оболо-чкам. Принято считать оболочку тонкой, если отношение ее толщины к габа-ритному размеру меньше 1/20. Для тонких оболочек применима гипотеза пря-мых нормалей: отрезки нормали к срединной поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми после деформирования. В этом случае имеет место линейное распределение деформаций, а следовательно и нормальных напряжений (при малых упругих деформациях) по толщине оболочки.

Поверхность оболочки получают вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой. Если кривую заменить прямой линией, то при вращении ее параллельно оси получается круговая цилиндрическая оболочка, а при вращении под углом к оси - коническая.

В расчетных схемах оболочку представляют ее срединной поверхностью (равноудаленной от лицевых). Срединную поверхность обычно связывают с криволинейной ортогональной системой координаты Ө и φ. Углом θ ( ) определяется положение параллели линии пересечения середин-ной поверхности с плоскостью, проходящей нормально к оси вращения.

Рис.11.6 Рис. 11.7

Через нормаль с серединой поверхности можно провести множество пло-скостей, которые будут нормальны к ней и в сечениях с ней образовывать ли-нии с разными радиусами кривизны. Два из этих радиусов имеют экстремаль-ное значения. Линии, которым они соответствуют, называются линиями главных кривизн. Одна из линий является меридианом, её радиус кривизны обозначим r₁. Радиус кривизны второй кривой – r₂ (центр кривизны лежит на оси вращения). Центры радиусов r₁ и r₂ могут совпадать (сферическая оболоч-ка), лежать по одну или по разные стороны срединной поверхности, один из центров может уходить в бесконечность (цилиндрическая и коническая оболоч-ки).

При составлении основных уравнений усилия и перемещения относим к нормальным сечениям оболочки в плоскостях главных кривизн. Составим ура-внения для внутренних усилий. Рассмотрим бесконечно малый элемент оболо-чки (рис. 11.6), вырезанный двумя смежными меридиональными плоскостями (с углами θ и θ+dθ) и двумя смежными параллельными кругами, нормальными к оси вращения (с углами φ и φ+dφ). В качестве системы осей проекций и моментов избираем прямоугольную систему осей x, y, z. Ось y направлена по касательной к меридиану, ось z – по нормали.

В силу осевой симметрии (нагрузка P=0) на элемент будут действовать только нормальные усилия. N_φ - погонное меридиональное усилие, направлен-ное по касательной к меридиану: N_θ - погонное кольцевое усилие, направлен-ное по касательной к окружности. Уравнение ΣХ=0 обращается в тождество. Спроектируем все силы на ось z:

2N_θr₁dφ sinφ+[ ]r_odθdφ+P_zr₁dφr_odθ=0.

Если пренебречь бесконечно малой величиной высшего порядка ( )r_o dθ dφ и разделить уравнение на r₁ r_o dφ dθ, то принимая во внима-ние, что получим уравнение, принадлежащее П. Лапласу:

Вместо уравнения ΣY=0 для рассматриваемого элемента составим урав-нение равновесия верхней части оболочки (рис. 11.6). Спроектируем все силы на ось вращения:

N_φ

uде: R_v- вертикальная проекция равнодействующей внешних сил, приложенных к отрезанной части оболочки. Итак,

N_φ=

Подставив значения N_φ в уравнение Лапласа, найдём N_θ. Определение усилий в оболочке вращения по безмоментной теории представляет собой статически определимую задачу. Это стало возможным в результате того, что мы сразу постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки – считали их постоянными.

В случае сферического купола имеем r₁= r₂= r и r_о= r . Если нагрузка задана в виде интенсивности P на горизонтальную проекцию оболочки, то

R_v= , и

N_φ=

Таким образом, в меридиональном направлении купол равномерно сжат. Составляющие поверхностной нагрузки вдоль нормали z равна P_z=P . Подставляем значения N_φ и P_z в уравнение Лапласа и находим из него:

N_θ=

Кольцевые сжимающие усилия достигают максимума в вершине купола при φ = 0. При φ = 45^º - ­­N_θ=0; при φ > 45 - N_θ=0 становится растягивающим и достигает максимума при φ = 90 .

Горизонтальная составляющая меридионального усилия равна:

H=N_φ

Рассмотрим пример расчёта безмоментной оболочки. Магистральный трубопровод заполнен газом, давление которого равно Р.

Здесь r₁=R, r₂= а в соответствии с ранее принятым допущением, что напряжения распределяются равномерно по толще δ оболочки

N_φ и N_θ=

где: σ_m- нормальные меридиональные напряжения, а

σ_t- окружные (широтные, кольцевые) нормальные напряжения.

σ_t