11.2. Чистый косой изгиб призматического бруса

В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость действия момента не содержит главную ось инер­ции сечения, называется косым изгибом.

Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса моментами M_z и М_у, для которых оси z и у являются главными центральными осями инерции сечения, а плоскости дей­ствия xz и xу –главными плоскостя-ми бруса.

Рис.11.1 Зададим моменты M на торцах бру-са в силовой плоскости, составляющей с главной плоскостью ху угол β, показанный на рис.11.1, а как от­клонение от оси у силовой линии f – f – следа силовой плоскости на плоскости сечения бруса. Тогда М_z= Mcosβ , M_у= Msinβ (на рис.11.1, б) моментные векторы отложены на нормалях к плоскостям

действия моментов). Напряжение в точке (у,z) можно определить как алгебраи­ческую сумму напряжения от M_z и M_y :

Как и при прямом изгибе, напряжения распределяются по закону плоскости.

Так как в точках нейтральной оси сечения σ_х= 0, то уравнение этой оси будет

Другими словами, нейтральной осью при косом изгибе является прямая, проходящая через начало координат (центр тяжести сече­ния) и составляющая с осью z угол φ, определяемый из уравнения

tg tgβ

Минус показывает, что нейтральная ось и силовая линия лежат в двух смежных четвертях. При I_z ≠ I_y угол φ не равен углу β, т.е. нейтральная ось не перпендикулярна силовой плоскости, как это имело место при прямом изгибе.

К случаю, когда I_z = I_y и все центральные оси сечения яв­ляются главными, понятие "косой изгиб" неприменимо (φ = β ).

Определить примерное положение нейтральной оси можно, со­поставив знаки напряжений от моментов M_z и М_у в четвертях. Нейтральная ось пройдет через те четверти, где эти напряжения вычитаются.

Линия равных напряжений в сечении

имеет тот же угловой коэффициент, что и нейтральная ось, т.е. параллельна ей. Это предопределяет характер эпюры σ_х (см. рис.11. 1,а). Поскольку напряжения σ_х распределяются по закону плоскости, проходящей через нейтральную ось, они будут наи­большими для точек, наиболее удаленных от этой оси.

Полный прогиб равен геометрической сумме перемещений w и v вдоль главных осей z и у:

Направление прогиба определим функцией

tgα = v/w.

Величины v и w пропорциональны соответственно

M_z /I_z = (M cosβ)/I_z и M_y /I_y = (M sinβ)/I_y .

Следовательно,

tgα = (I_y /I_z) ctgβ = k₁.

В то же время угловой коэффициент нейтральной оси

tgφ = – (I_z /I_y) tgβ = k₂.

Так как k₂ = –1/k₁, то направление полного прогиба перпендикуля­рно нейтральной оси. Следовательно, плоскость изгиба нормальна к нейтральному слою.

11.3. Чистый изгиб с растяжением (сжатием)

Эту деформацию представим себе как сочетание косого изги­ба и чистого сжатия, при котором напряжения суммируются алге­браически:

Тождественную схему деформирования наблюдаем в случае приложе­ния продольной нагрузки F со смещением (эксцентриситетом) от­носительно центра тяжести поперечного сечения, в точке (z_F, y_F) (рис.11.2, а). Этот случай получил название внецентренного сжатия¹.

П рименив метод сечений, обна­ружим в любом поперечном сечении продольную силу N= – F и изгибающие моменты: М_у= Fz_F и M_z= Fy_F. Таким образом, напряжения можно представить в другом виде:

После введения радиусов инерции формула принимает вид

Так как в точках нейтральной оси сечения σ_x = 0, то уравнение этой оси будет

Рис. 11.2

.

¹Все выводы, относящиеся к внецентренному сжатию бруса, могут быть применены и к случаю внецентреннего растяжения при замене сжимающей силы -F на +F.

После подстановки в уравнение этой прямой линии последо­вательно значений координат точки на оси у: z₀ = 0 и у₀ = a_у и на оси z: у₀ = 0 и z₀ = a_z получаем отрезки:

Минусы указывают на то, что нулевая линия и точка приложения силы F (полюс) располагаются по разные стороны от центра тя­жести (рис.8.13,б).

Докажем следующую теорему: при перемещении полюса по прямой нулевая линия вращается около неподвижной точки.

Пусть f – f есть прямая, отсекающая отрезки b_у и b_z на осях координат (рис.11.3). Примем ее за нулевую линию, тогда коор­динаты соответствующего полюса – точки Q суть

Если, наоборот, силу приложить в точке на линии f – f, то согласно упомянутой выше теореме, напряжение в точке Q окажется равным нулю.

Совокупность нулевых линий для всех положений полюса на линии f – f есть пучок прямых, проходящих через точку Q.

Рис. 11.3 Рис.11.4

В частном случае, когда полюс движется по прямой, проходящей через центр тяжести, нулевая линия перемещается параллельно себе, ибо пропорциональное изменение координат у_F и z_F влечет также пропорциональное изменение отрезков а_y и а_z.

При у_F → 0 и z_F → 0 нулевая линия уходит в бесконечность, что соответствует наступлению чистого растяжения (сжатия). При у_F → ∞ и z_F → ∞ а_y → 0 и а_z → 0, что соответствует наступлению чистого косого изгиба.

В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения. Если след силы F (или равнодействующей нескольких сил) находится внутри этой области, то нейтральная линия проходит за пределами сечения, и, следовательно, во всех его точках напряжения будут одного знака.

Покажем построение контура ядра сечения. Пусть нулевая линия совпадает со стороной I контура сечения, отсекая на осях у и z отрезки а_y1 и а_z1 (рис.11.4).

Тогда координаты точки 1 на контуре ядра сечения:

При совпадении нулевой линии с гранью II таким же спосо­бом находим координаты точки 2 (z_F2 и у_F2) на контуре ядра се­чения. При вращении нулевой линии вокруг вершины А соответст­вующая ей точка приложения силы F перемещается вдоль отрезка 1–2. Контур ядра сечения будет многоугольником, число сторон которого равно числу сторон сечения бруса.

Читателю предлагается установить, что для прямоугольного сечения с размерами b и h ядро сечения имеет форму ромба с ди­агоналями, равными b/3 и h/3, а для круга радиусом r − концен­трический круг радиусом r/4.

Зная контур ядра сечения, можно определить, будут ли на­пряжения при заданном положении силы F иметь одинаковые или разные знаки в пределах поперечного сечения бруса. Это важно знать для материалов, не обладающих одинаковой прочностью на растяжение и сжатие. Такими являются бетон, чугун, кирпичная кладка и др.