Основные обозначения

А – площадь сечения, матрица податливости

С – центр тяжести, константа, постоянная интегрирования

D – центробежный момент инерции

Е – модуль продольной упругости

F – сила

G – модуль сдвига

Н – горизонтальная составляющая реакции

I – момент инерции, функционал энергии

М – пара сил, изгибающий момент

N – нормативная и расчетная нагрузки, продольная сила

Q – поперечная сила

R – реакция опоры, нормативное и расчетное сопротивление

S – статический момент, поверхность

Т – крутящий момент, тензор

U – потенциальная энергия деформации

V – объем, вертикальная составляющая реакции

W – момент сопротивления

X,Y,Z – проекции силы на оси, лишние неизвестные

а – расстояние

b – ширина сечения

с – смещение опоры

d – диаметр

е – эксцентриситет

f – стрела подъема

g – ускорение свободного падения

h – высота сечения

i – радиус инерции

k – кривизна

l – длина, пролет

m – интенсивность моментов относительно оси у (z)

n – интенсивность нагрузки по оси х

p – интенсивность поверхностного силового поля, напряжение

q – интенсивность нагрузки по оси у (z), вектор перемещений

r – радиус

s – дуговая координата

t – интенсивность моментов относительно оси х, температура

u – удельная работа внутренних сил, удельная потенциальная энер-

гия деформации, удельная дополнительная энергия, перемеще-

ние вдоль оси х

v – перемещение вдоль оси у

w – перемещение вдоль оси z

x,y,z – оси декартовых координат

∆ – перемещение

θ – цилиндрическая координата

α – коэффициент линейного расширения

γ – объемный вес, деформация сдвига

δ – перемещение от единичного силового фактора

ε – линейная деформация

Θ – относительное изменение объема

– угол поворота (закручивания)

λ – гибкость стержня

μ – коэффициент приведения длины стержня

ν – нормаль, коэффициент поперечной деформации (коэффици­ент

Пуассона)

ρ – цилиндрическая координата, плотность, радиус кривизны

σ – нормальное напряжение

τ – касательное напряжение

φ – коэффициент продольного изгиба

Раздел I. Методологические основы расчёта элементов конструкций.

1. Основные понятия

Сопротивление материалов является одной из основополагаю­щих технических дисциплин, формирующих мышление инженера.

Инженерные конструкции в условиях эксплуатации подверга­ются внешним воздействиям и меняют формы и размеры, т.е. деформируются. При проектировании конструкций и сооружений приходится определять материал, конфигурацию и размеры элементов, способных оказать сопротивление внешним воздействиям. Главны­ми требованиями к конструкции выступают противоречащие друг другу надежность работы (способность выполнять заданные функ­ции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных пределах в течение требуемого промежутка времени) и экономич­ность. Разрешение этого противоречия является важнейшим эле­ментом научной методики, обусловливающей развитие механики де­формируемого твердого тела – науки о прочности (способности сопротивляться разрушению под действием внешних факторов), жесткости (способности сопротивляться изменению размеров и формы) и устойчивости (способности сохранять определенную на­чальную форму равновесия). Основываясь на выводах этой науки и имея собственную направленность – разработку моделей надежно­сти, сформировалась область знания с исторически закрепившим­ся названием «сопротивление материалов».

Для современного этапа развития технических наук характе­рен переход от расчетных методик к математическому моделирова­нию, что позволяет отразить функциональное назначение и усло­вия надежности конструкции, выбрать оптимальные параметры.

Под моделью в широком смысле понимают совокупность представлений, зависимостей, условий, ограничений, описывающих об­раз какого-либо объекта, процесса, явления. Она может иметь разные формы выражения. Наиболее часто используются математи­ческие модели в виде различного рода уравнений, ограничений. Учет влияния тех или иных факторов накладывает отпечаток на степень соответствия модели исходному объекту.

Модель прочностной надежности элемента конструкции вклю­чает четыре вспомогательные модели: материала, формы, нагружения, предельного состояния (разрушения), а также запасы проч­ности, вероятность разрушения.

В механике деформируемого твердого тела рассматриваются тела из абстрактного материала. Сплошное твердое деформируемое тело состоит из материальных точек (бесконечно малых элемен­тов), сплошь распределенных по объему тела и соединенных меж­ду собой податливыми связями. Внешние

силы вызывают в связях силы сопротивления, называемые внутренними силами, при этом меняются расстояния между точками. Отвлеченность от атомно-молекулярного строения позволяет классифицировать материалы только с точки зрения механического сопротивления и выявить общие законы этого сопротивления. Опыты с образцами металлов и других конструкционных материалов показали, что введение моде­ли сплошной однородной среды вполне оправдано. Свойство тел деформироваться под нагрузкой и затем, после устранения сил, восстанавливать свое первоначальное состояние называют упруго­стью. Если это свойство проявляется одинаково во всех направ­лениях, то тело называют изотропным. В дальнейшем будут рас­сматриваться и более сложные модели материала.

Основными моделями формы являются: брус, стержень, оболо­чка, пластин-ка, пространственное тело (массив).

Брус – тело, образованное плоской фигурой, движущейся по некоторой кривой таким образом, что центр тяжести фигуры сов­падает с кривой, а плоскость фигуры остается перпендикулярной к касательной, проведенной в соответствующей точке к данной кривой. Кривая является осью, а плоская фигура – поперечным сечением бруса. Сечение также может поворачиваться относитель­но оси (естественно закрученный брус). При плавном или скачко­образном изменении параметров плоской фигуры образуется брус переменного сечения.

Стержень – брус, у которого поперечные размеры малы по сравнению с продольными. В технике часто применяют тонкостен­ные стержни, у которых один размер сечения мал по отношению к другому и оба они малы по сравнению с длиной стержня.

Оболочка – тело, форма которого может быть образована движением прямого отрезка постоянной или переменной длины при условии, что середина его остается на некоторой направляющей поверхности и отрезок остается нормальным к этой поверхности. Направляющая поверхность называется срединной поверхностью оболочки, а длина прямого отрезка – толщиной оболочки в данной точке.

Пластинка – частный случай оболочки, когда срединной по­верхностью является плоскость.

Пространственное тело (массив) – модель формы элемента конструкции, размеры которого во всех направлениях соизмеримы.

Нагрузки, приложенные к телу, распределены по некоторым площадкам его поверхности или по объему. Для их представления используют модели: сосредоточенная сила, распределенные наг­рузки и объемные силы.

Если размеры нагруженной площадки малы по сравнению с длиной бруса, нагрузку представляют сосредоточенной силой, т.е. приложенной к математи-

ческой точке поверхности (обознача­ется F). Единица измерения силы в системе СИ – ньютон (Н).

Нагрузки, приложенные к участкам поверхности достаточно больших размеров по сравнению с длиной бруса, считают распределенными по поверхности, либо приводят к распределенным по линии.

Мерой поверхностного силового поля является интенсивность

где ΔF – равнодействующая нагрузки, приходящейся на весьма ма­лую площадку; Δ А – величина этой площадки. Размерность величи­ны p – Н/м².

Величина, измеряемая силой, действующей перпендикулярно к поверхности и приходящейся на единицу поверхности, называется давлением. Единица измерения – паскаль (Па). 1 Па = 1 Н/м².

Мерой нагрузки, распределенной по линии, является ее интенсивность q (размерность – Н/м). График, показывающий изменение величины q по длине бруса, называется эпюрой нагрузки.

Нагрузки, распределенные по объему тела (например, силы гравитации, инерции), называются объемными силами и характеризуются интенсивностью с размерностью Н/м³.

В ряде случаев нагрузки моделируются как моментные в виде сосредоточенных моментов (пар сил М) и моментов, распределен­ных по поверхности или по линии (размерности соответственно – Н·м, Н·м/м², Н·м/м).

По длительности действия различают постоянные и временные нагрузки. Постоянные нагрузки действуют на протяжении всего периода существования конструкции, например, ее собственный вес. Временные нагрузки действуют в течение ограниченного про­межутка времени, например, снег. Сюда можно отнести и перемен­ное нагружение, изменяющееся во времени.

Действие нагрузки считается статическим, если ее величина или положение меняется со временем незначительно, так что мож­но пренебречь влиянием сил инерции. Для динамического действия нагрузки характерно быстрое изменение во времени ее величины и положения, что вызывает в элементах конструкции силы инерции, которыми нельзя пренебречь.

Модели нагружения должны отражать также воздействие полей и сред. Наиболее часто приходится учитывать воздействия температурного поля и коррозионных сред.

Модели предельного состояния представляют собой уравнения (условия), связывающие параметры механического сопротивления элемента конструкции в момент наступления такого состояния с параметрами, обеспечивающими прочность, жесткость. Эти условия часто называют условиями прочности, жесткости.

Дальнейшее абстрагирование деформируемого тела связано с принятием для него расчетной схемы (вместо стержня изображает­ся его ось, вместо оболочки – ее срединная поверхность; нагруз­ка прикладывается к оси или срединной поверхности элемента и т.д.).

Тип конструктивной опоры устанавливается по ее характери­стикам – кинематической (с точки зрения перемещений, допускае­мых и задерживаемых опорными связями) и статической (с точки зрения силового сопротивления). Наиболее распространены шар­нирные и защемляющие опоры.

Шарнирные опоры делятся на цилиндрические и шаровые, каж­дые из которых могут быть неподвижными и подвижными. Защемляющим опорам в реальности соответствует глухое присоединение элементов конструкции к опорному телу (например, с помощью сварки), заделка элемента в тело опоры и др. В приведенной ниже таблице даны расчетные схемы опор, применяемых при плос­ком равновесии сил.

В таблицу включены жесткие (недеформирующиеся) опоры. Ша­рнирные и защемляющие опоры могут быть податливыми, т.е. допу­скающими определенные перемещения от передаваемых на них сил. В условных обозначениях стерженьки заменяются пружинками.

Тип опоры	Кинематическая характеристика	Статическая характеристика	Условное обозначение
Цилиндрическая не­подвижная	Допускает вращение вокруг од­ной оси и задер­живает линейные перемещения связанного с ней элемента	Не создает реакции в виде момента, а только в виде силы R в плоскости системы с неизвестным заранее направлением
Цилиндрическая подвижная	Отличается от предыдущей нали­чием дополни­тельной степени свободы	Ре­акция R имеет опре­деленное направле­ние
Плоская защемляющая неподвижная	Задерживает все виды перемещений на плоскости	Реакция представля­ется в виде силы R и момента М в плоскости системы

Сопротивление материалов основывается на результатах тео­ретических и экспериментальных исследований. Теоретическим пу­тем получают основные расчетные формулы, применяемые при реше­нии конкретных задач, а экспериментальным устанавливают основ­ные механические характеристики материала и проверяют досто­верность выбранных моделей. В теоретической части сопротивле­ние материалов базируется на теоретической механике и матема­тике, а в экспериментальной – на физике и материаловедении. Это, прежде всего, использование представлений о межатомных вза­имодействиях, о нарушениях регулярной структуры кристалличес­ких тел в виде дислокаций, вакансий, внедрений и законах их движения под действием приложенных сил.

Сопротивление материалов базируется на трех основных за­конах. Закон равновесия гласит: для равновесия сплошного де­формируемого тела необходимо и достаточно равновесия каждого элемента тела в отдельности. Условия равновесия остаются таки­ми же, как и в механике твердого недеформируемого тела. Закон сплошности означает, что каждой точке тела до деформирования соответствует одна и только одна точка после деформирования. Физический закон, получаемый из опыта, устанавливает связь между мерами силовых и кинематических характеристик деформиро­вания.

К сопротивлению материалов примыкает строительная механи­ка стержневых систем, которая изучает конструкции в виде соче­тания стержней: фермы, рамы и др. Фермой называют геометричес­ки неизменяемую систему стержней, шарнирно соединенных между собой, несущую узловую нагрузку. Шарнирное соединение допускает поворот одного элемента относительно другого. Рама не имеет таких ограни­чений.

Обозначения основных величин соответствуют рекомендациям международной организации по стандартизации (ИСО).