10.5 Перемещение при изгибе. Метод начальных параметров.

П ри нагружении балки ось балки искривляется. Точки оси получают по-перечные перемещения, а попереч-ные сечения совершают поворот от-носительно своих нейтральных осей. Изогнутую ось балки называют упру-гой линией. Углы поворота сечений φ могут быть определены и как углы наклона касательных к упругой линии в данном сечении (рис. 10.8).

Рис. 10.8

Линейные V и угловые φ перемещения являются функциями координаты х. В силу малости углов поворота имеет:

φ(х)

Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой V(х) может быть определена по формуле:

.

Поскольку величина величина малая по сравнению с единицей, то упрос-тив последнее выражение можно записать приближённое дифференциальное уравнение:

.

С учётом ранее полученного при изгибе выражения:

имеем, EI_z =M_z(x),

где: I_z- момент инерции поперечного сечения балки, относительно её нейт-ральной оси z;

Е- модуль продольной упругости материала;

EI_z- изгибная жёсткость.

В общем случае для определения функции прогибов и углов поворота необходимо проинтегрировать последнее уравнение и определить константы интегрирования из граничных условий –условий закрепления на опорах. В случае двухопорной балки – это равенство нулю перемещений над опорами, а в случае жёсткого защемления – равенство нулю и угла поворота, и перемещения в заделке.

Для балки, имеющей несколько участков, решение существенно осло-жняется, поскольку на каждом участке функция M_z(x) имеет иное аналитичес-кое выражение и необходимо на границах соседних участков обеспечить непрерывность функций φ(х) и V(х). Это приводит к тому, что для балки, име-ющей n участков из числа 2n граничных условий получать 2n алгебраических

уравнений и решая эту систему находить 2n постоянных интегрирования.

Для балок постоянной жесткости ( EI_z=const) можно свести решение к нахождению только двух констант интегрирования при любом количестве участков. Это возможно в случае, когда в аналитических выражениях для мо-ментов или прогибов при переходе к следующему участку повторялись все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на границе нового участка.

Р ассмотрим балку, нагруженную силовыми воздействиями, вызывающи-ми вертикальные перемещения в положительном направлении оси у (рис. 10.9). Начало координат поместим в крайнюю левую точку оси балки, и оно будет общим для любого участка. Выражения для изгибающих моментов M_z(х) будем состав-лять, рассматривая в равнове-сии левую часть балки. Запи-шем уравнение для пятого участка (d x l)

M_z(x)=M(x-a) +F(x-b)+

q .

Для обеспечения рекуррентно-

сти для пятого участка введена

Рис.10.9 “компенсирующая” распределён-ная нагрузка, поскольку сохранив предпоследнее слагаемое (мы как бы продлили распределённую нагрузку и на пятый участок) следует обеспечить действительное силовое воздействие. В первом слагаемом сомножителем введена (х-а) =1. Размеры a, b, c, d соответствуют координате приложения внешних воздействий.

Легко убедиться, что для любого участка M_z(х) можно получить, сох-ранив в уравнении слагаемые, расположенные левее проведенного на участке сечения.

Дважды проинтегрировав последнее выражение, получим:

E V(x) = c₁+c₂x+ .

Постоянные интегрирования С₁и С₂ по своей сути означают:

С₁=E С₂=E - прогиб V и угол поворота сечения φ в начале ко-ординат (х = 0), умноженные на жёсткость сечения при изгибе. Эти постоян-ные определяются из граничных условий. Если начало координат совпадает с жёсткой заделкой, то φ = 0, V = 0. Если начало координат совпадает с левой

опорой, то прогиб V =0, а вторую константу определяют из условия равенства

нулю прогиба на правой опоре.

Выявив составляющие от различных внешних силовых факторов мож-но записать универсальное уравнение упругой линии балки.

EI_zV=EI_zV_◦+EI_zφ_◦x

где: M_i, F_i, q_i – внешние нагрузки, включающие и опорные реакции, располо-женные левее (знак ”л” над знаком суммы) от рассматриваемого сечения;

a_i, b_i, c_i, d_i – расстояния от начала координат до сечения, где приложена данная нагрузка;

V- перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикуляр-ному оси балки х.

Углы поворота легко получить дифференцированием функции прогибов. Величины φ , называют начальными параметрами, что и определило назва-ние метода.

Построив упругую линию по расчётным значениям прогибов в несколь-ких сечениях проверяют, выполняется ли условие жёсткости:

V_max V_adm;

где: V_adm назначается как (0.01 0.001) длины пролёта балки и принимается в зависимости от назначения этой конструкции.

Если прочность балки обеспечена, а условие жёсткости не выполнено, то следует подобрать размеры сечения такими, чтобы обеспечить и жёсткость. К примеру если V_max=1.5V_adm, то момент инерции нового сечения должен быть в полтора раза больше момента инерции прежнего сечения.