10.4. Поверочные и проектные расчеты

Для обеспечения прочности бруса необходимо, чтобы наи­большие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения в опасном сечении, где момент имеет наибольшее значение (рас­сматриваются только балки с постоянным по всей длине попереч­ным сечением), не превосходили соответствующих допускаемых на­пряжений.

Обозначим h_t – расстояние до наиболее удаленного от нейт­ральной оси растянутого волокна, h_c – расстояние до наиболее удаленного сжатого волокна. Тогда наибольшее растягивающее на­пряжение

σ_{xt mах} = (M_zh_t)/I_z ;

наибольшее сжимающее напряжение (взятое по абсолютному значению)

σ_{xc mах} = (M_zh_c)/I_z.

Для хрупких материалов допускаемые напряжения на растяже­ние и сжатие различны: σ_{c adm} в несколько раз больше σ_{t adm}. Поэтому для балок из таких материалов обычно подбирают сече­ния, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение ориентируют таким образом, чтобы h_t < h_c, т.е. чтобы обеспечивалось неравенство max σ_xt<max σ_xc. В таких случаях применяются два условия прочности:

σ_{xt max} = (M_zh_t)/I_z ≤ σ_{t adm};

σ_{xc max} = (M_zh_c)/I_z ≤ σ_{c adm},

Если сечение балки симметрично относительно нейтральной оси (такие сечения целесообразно применять для балок из плас­тичных материалов, имеющих одинаковые величины σ_adm на растя­жение и сжатие), т.е. h_t= h_c= h/2, условие прочности имеет вид

Величина W_z называется моментом сопротивления изги­бу поперечного сече-ния. Для прямоугольника

для круга

для кольца

где D(d) – диаметр наружной (внутренней) окружности.

Для прокатных профилей значения моментов сопротивления указаны в таблицах сортамента.

Допускаемый изгибающий момент определяется по формуле

Найдя M_{z adm} и зная связь между М_z и нагрузкой, можно определить допуска-емую нагрузку.

Для подбора сечения бруса используется зависимость

W_z ≥ M_z /σ_adm.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

τ_мах ≤ τ_adm.

Главные напряжения (см. п.4.2) следует проверять (σ_red ≤ σ_adm) в сечениях, где одновременно имеют большие значе­ния и изгибающий момент (определяющий σ_х), и поперечная сила (определяющая τ_ху), в точках, в которых напряжения σ_х и τ_ху достигают значительных величин.

При подборе сечений брусьев стремятся удовлетворить усло­виям прочности при наименьшем расходе материала, пропорцио­нальном площади сечения, если последняя сохраняется постоян­ной. Значит, чем больше момент сопротивления при одной и той же площади, тем рациональнее сечение.

Поскольку наибольшие нормальные напряжения при изгибе действуют в слоях, удаленных от оси бруса, то стандартные про­катные профили (двутавр, швеллер) наиболее экономичны. Для этих профилей характерна концентрация материала в периферийных зонах, где напряжения имеют наибольшие значения. Вблизи оси бруса (зона минимальных напряжений) находится лишь незначи­тельная часть материала, что необходимо для работы сечения как единого целого. По этой же причине балка круглого сечения будет весьма нерациональна.

Отношением W_z /A = kh можно оценить степень экономичности профиля при сохранении постоянной высоты сечения h. Для прямо­угольника

W/A = [(bh²/6)]/(bh) = 0,17h .

Для круга k = 0,125; для прокатных двутавров k = 0,29...0,31; для прокатных швеллеров k = 0,27...0,31. Для балки прямоуголь­ного сечения при фиксированной площади выгодно (до известных пределов) увеличивать h. Однако высокие, но узкие профили об­ладают малой жесткостью относительно другой главной оси и не­устойчивы при изгибе.

При различном сопротивлении материала растяжению и сжатию наиболь-шего эффекта можно достичь, используя несимметричное относительно оси z сечение, о чем говорилось выше.