7.6 Практикум Примеры

1. Для стального бруса (Е=2 МПа) построить эпюры продольных сил, нор-

мальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещения этих сече-

ние.

Р ешение. Продольную силу в поперечном сечении определим проектируя внешние силы, приложенные справа от рассматриваемого сечения на ось бруса:

N_DL=0; N_BC=60 кH;

N_AB=60+120=180 кH.

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис.б)

В поперечных сечениях бруса воз-никают нормальные напряжения.

σ_DL= =0;

σ_CD= = = =

=12 Па=120 МПа;

σ_ВС= = = 50 МПа; σ_АВ= = = 150 МПа.

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений σ (рис.в).

Поперечные сечения бруса под действием внешних сил смещаются впра-во относительно неподвижного сечения А. Величина смещения сечения, ра- положенного на расстоянии х от левого конца бруса равна деформации уча-стка длинной х:

на участке АВ при (0 )

_АВ= = =0.75

на участке ВС при (0 )

_ВС= =0.75 +

на участке АВ при (0 )

_CD= _ВС + =10³⁺ =

Участок DL не деформируется (N_DL=0, следовательно _DL=0), но пере-мещается в следствии деформаций участков, расположенных слева.

Во всех полученных выражениях переменная х входит в первой степени, а следовательно зависимость между и х линейная. Это позволяет по расчётным перемещениям сечений В, С, D, L построить эпюру перемещений (в размерности мм).

Поскольку _I= = =ε_i·х, то относительная продольная деформация ε_i на каждом участке представляет собой коэффициент, соответ-ствующий углу наклона эпюры на каждом участке. Сравнивая эпюры σ и эпюры можно наблюдать, что чем больше значения σ, тем круче линия эпюры (при условии Е=const), а на участке DL – эпюра перемещений гори-зонтальна.

2 . Для металлического бруса, находящегося под действием сил построена эпюра N продольных сил, возника-ющих в его сечениях. Произвести расчёт на прочность стержня в следующих случаях.

2.1 Стержень изготовлен из плас-тичной стали:

σ_adm=160 МПа, F=40 кН. Подобрать площади поперечных сечений для каждого из участков.

Решение. Условие безопасной прочности σ = σ_adm позволяет вычислить минимальную площадь поперечного сечения:

А₁ = = =12.5 см²;

А₂ = 7.5 см²; А₃ = 5 см².

Для второго участка, где N₂ <0 берём абсолютное значение силы 120 кН и делим на допускаемое напряжение σ_adm=160 МПа, которое для пластичных ма-

териалов имеет одинаковое значение и в случае растяжения, и в случае сжатия. Принимаем: А₁=12.5 см²; А₂=7.5 см²; А₃=5 см².

2.2 Стержень изготовлен из чугуна:

σ_{adm t}=120 МПа; σ_admс=310 МПа; F=50 кН; А₁=25 см²; А₂ =; А₃= ?

Проверить прочность стержня. Дать рекомендации по изменению поперечных сечений (рациональные сечения).

Решение. Определим напряжения на каждом участке

σ₁ = =10⁴ =100 МПа; σ₂= = -300 МПа;

σ₃= = 125 МПа. Условия безопасности прочности на первом участ-ке σ₁=100 МПа 120 МПа = σ_adm выполняется, но площадь этого участка мож-но уменьшить до величины = 20.83 см³ (принимаем 21см²), тогда потребуется меньше материала для изготовления конструкции.

На втором участке σ₂= 310 МПа = σ_admс сравнивать необходимо абсолютную величину сжимающих напряжений. Условие прочности выполне-но, а недонапряжение σ%= 100% 3.2%

На третьем участке σ₃=125 МПа 120 МПа=σ_adm, и условие формально не выполняется. Однако перегрузка σ%= 100% 4.2% не превышает 5%, что позволяет оставить площадь третьего участка А₃=8 см².

2.3 Стержень изготовлен из пластичной стали:

σ_adm=160 МПа; А₁=30 см²; А₂=15 см²; А₃=20 см². Определить допускаемое зна-чение нагрузки F.

Решение. Следует сравнить напряжения на каждом из трёх участков и из усло-вия безопасной прочности σ_мах= σ_adm, определить величину допускае-мой силы F.

σ ₁ = = 0.167 F; σ ₂ = =0.2 F; σ ₃ = = 0.1 F.

На втором участке нормальные напряжения наибольшие по абсолютному зна-чению, поэтому, наибольшее значение силы F_мах.

= ≤ 160 МПа = σ_adm F_мах 160 =

=8·10⁴ Н = 80 кН. Допускаемая величина силы F_adm= 80 кН. При таком значении силы на втором участке нормальные напряжения равны σ_adm, а на первом и втором участке они соответственно составляют 83.5% и 50% от σ_adm.