7.2. Растяжение (сжатие) прямого бруса постоянного сечения

Установим единый план постановки и решения прямой задачи для бруса (стержня): задаются условия для деформаций продоль­ных волокон бруса; записываются зависимости, присущие данному виду деформации; выделяется основное неизвестное, имеющее не­посредственную связь с другими искомыми величинами, после чего выполняется решение.

Для чистого растяжения задаются следующие условия: 1) сечения остаются плоскими, т.е. все волокна, параллельные оси бруса, деформируясь одинаково, испытывают только растяже­ние, деформации сдвига отсутствуют, откуда согласно физическо­му закону следует, что касательные напряжения и

соответствую­щие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (попе-реч­ные силы и крутящие момент) равны нулю; 2) растяжение каждого из воло-кон равномерное, т.е. в пределах волокна (и всего бру­са) ε_x= const, ε_y= ε_z= – νε_x= const; 3) физический закон – закон Гука для одноосного напряженного состояния; из него вытекает, что σ_х= const; как следствие, изгибающие момен-ты при совмеще­нии центра приведения с центром тяжести обращаются в нуль; 4) задана величина продольной силы N.

Для определения характеристик растянутого бруса ε_х, u и σ_х имеем зависимости:

, ε_х= ∂u/∂х , σ_х= Еε_х .

За основное неизвестное, через которое выражаются ос­тальные искомые величины, целесообразно принять ε_x. Так как перемещение u – функция одной переменной х, то

ε_х= du/dx ,

откуда

Предположим, что все волокна одинаково закреплены, т.е. имеют одинаковые начальные перемещения u(0). Из условия: при х = 0 u = u(0) следует, что С = u(0), и следовательно, имеем

u = ε_хх + u(0) .

Удлинение бруса на участке 0–х равно

λ_x = ε_xx .

При х = l, где l – длина бруса, имеем

λ = ε_xl.

Интегральное уравнение при σ_x= const принимает вид

N = σ_x А,

откуда

σ_х = N/A .

Обращаясь к физическому закону, находим

ε_х= N/(ЕА)

и окончательные выражения для перемещений и удлинений:

u = (Nx)/(EA) + u(0), λ_x= (Nx)/(EА), λ = (Nl)/(EA).

При сжатии продольная сила N имеет отрицательное значе­ние.

Анализ полученного решения приводит к следующим выводам:

1. На основании статического граничного условия на торцах постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку Х_р=σ_х, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого растяжения.

2. Напряжение σ_х прямо пропорционально N и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной продольной силе напряжение можно уменьшить, увеличив площадь поперечного сече­ния.

3. Удлинение бруса обратно пропорционально величине ЕА, называемой жесткостью при растяжении. Жесткость определяют модуль упругости и геометрическая характеристика сечения.

7.3. Влияние собственного веса конструкции

Из всех видов распределенной нагрузки n наиболее часто встречающейся является собственный вес конструкции:

n = ρgA,

г де ρ – плотность материала; g – ускорение свободного падения.

Для бруса постоянного сечения на рис. 7.2, а

u(0) = 0, N(0) = F + ρgAl. В сечении х имеем

N = F + ρgAl – ρgAx = F + ρgA (l–x),

Перемещение точки С (х = l) определяет удлинение бруса:

Рис. 7.2 Эпюры N и u представлены на рис. 7.2, б, в.