6. Модели предельного состояния

6.1. Модели предельного состояния в локальной области

До сих пор мы рассматривали по существу законы деформиро­вания твер-дого тела. Они являются основой инженерных расчетов, направленных на создание прочных и экономичных конструкций. При установлении условий безопасной прочности необходимо знать прежде всего условия предельного (опасного) состояния материала конструкции.

Модели схематизируют сложный процесс образования предель­ного состояния, зависящий от действующих напряжений и свойств материала (пластичности или хрупкости), характера нагружения и целого ряда других факторов. Они могут быть представлены в де­терминированной (вполне обусловленной) или статистической (ве­роятностной) формах.

Принимаемые нами ограничения состоят в следующем: матери­ал считается изотропным, нагружение предполагается простым, статическим, температура образца и окружающей среды – комнат­ной, не учитывается эффект длитель-ного действия нагрузки.

Предельное состояние связано с качественным изменением свойств матери-ала. Для хрупкого материала этому состоянию со­ответствует начало разруше-ния (появление трещин), для пластич­ного – появление остаточных деформа-ций. Соответственно этому предельным напряжением σ_b для хрупкого материа-ла является вре­менное сопротивление σ_u(τ_u) для пластичного – предел текуче­сти σ_y(τ_y).

В связи с этим требуется решить вопрос о том, на какой площадке и при каких напряжениях возникает предельное состоя­ние в точке. В случае одноос-ного напряженного состояния или чистого сдвига этот вопрос решается опыт-ным путем. На диаграм­ме растяжения (сжатия, сдвига) устанавливается харак-терная точка, соответствующая предельному состоянию данного материа­ла.

При плоском и пространственном напряженных состояниях деформирова-ние материала происходит при наличии соответственно двух или трех главных напряжений, для которых число возможных соотношений неисчерпаемо. Неисчерпаемо и число опытов, необходимых для выявления предельных значений напряжений. Проведение таких испытаний требует сложных машин и приборов, огромных за­трат времени.

Указанные обстоятельства приводят к необходимости созда­ния такой методики расчета, которая позволяла бы оценивать прочность материала при любом варианте напряженного состояния, используя результаты опытов при одноосном напряженном состоя­нии. При этом вводится предположение, что два каких-либо на­пряженных состояния считаются эквивалентными, если при пропор­циональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз они одновременно становятся предельными. В качестве этало­на (эквивалента)

принимается одноосное напряженное состояние как наиболее эксперименталь-но изученное. Предполагается, что предельное напряженное состояние лежит на границе применимости закона Гука.

Существенным элементом модели предельного состояния явля­ется принятый критерий разрушения материала или возникновения в нем состояния текучести, который считается одинаковым при всех возможных напряженных состояниях. Предполагается, что им является некоторый фактор φ, имеющий механическую природу и количественную оценку. Таким фактором может явиться, например, напряжение, деформация, удельная потенциальная энергия дефор­мации. Значение φ, которое соответствует наступлению предель­ного состояния материала, будем называть предельным (опасным) и обозначать φ_b. Оно может быть определено по результатам опы­та с образцом в условиях одноосного напряженного состояния или чистого сдвига.

Таким образом, условие предельного состояния материала в локальной области имеет следующее выражение:

φ = φ_b.

Его можно записать в главных напряжениях:

φ (σ₁ , σ₂, σ₃) = φ (σ_b).

При существенном влиянии скорости деформации на напряженно-деформированное состояние упомянутое условие должно содержать в качестве аргумента время.

Оценки степени удачности предложенного критерия и сужде­ние о допустимости применения его на практике производят по результатам экспериментов с образцами, испытываемыми в услови­ях пространственного или плоского напряженного состояния.

В условиях предельного состояния пластичных материалов используют критерии появления пластических деформаций, рассмотренные в п. 5.6.

При пространственном напряженном состоянии возможен слу­чай равномерного (гидростатического) растяжения (сжатия):

σ_x = σ_y = σ_z = σ.

В таком случае, исходя из критериев наибольших касательных напряжений и удельной энергии изменения формы, можно предположить, что материал должен выдерживать весьма большие (теорети­чески – бесконечно большие) нагрузки, так как при этом τ = 0. И если этот вывод хорошо согласуется с опытами на все­стороннее равномерное сжатие, то в случае такого же рода ра­стяжения он не соответствует физическому смыслу прочности. В связи с этим модели предельного состояния должны быть дополне­ны ограничениями по наибольшим растягивающим напряжениям.

Для хрупких материалов используется критерий наибольших нормальных напряжений, выдвинутый в XVII в. итальянским уче­ным Г.Галилеем: предельное состояние материала наступает, ко­гда какое-либо из главных напряжений достигает величины пре­дельного напряжения при одноосном напряженном состоянии.

Обозначив σ_bt(σ_bc) предельное напряжение на растяжение (сжатие), запишем три случая предельного состояния:

а) если σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ ≥ 0, то σ₁ = σ_bt;

б) если σ₁ > 0, σ₃ < 0, то σ₁ = σ_bt, σ₃ = σ_bc;

в) если 0 ≥ σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, то σ₃ = σ_bc.

На рис.6.1 изображен квадрат, который можно рассматривать как предельный контур в случае плоского напряженного состояния в плоскости σ₁σ₃. Точки внут-ри контура образуют область, безопас-ную в отношении возникновения предельного состояния.

В то же время опыты с хрупкими ма-териалами показывают, что при сжатии предель­ное состояние наступает на площад- ках с наибольшими касательными напряже- Рис.6.1

ниями. Как извест­но, в этом случае применимо соотношение τ_b = σ_bc/2. Поэтому предельный контур во втором и четвертом квадрантах должен приниматься с учетом штриховых линий σ₃ = = σ₁ ± σ_bc.

Рассмотренные три категории предельного состояния называ­ются классическими. К ним примыкает и критерий наибольших линейных деформаций, предложенный Э.Мариоттом и окончательно оформленный А.Сен-Венаном в середине XIX в. Этот критерий имеет лишь историческое значение, так как в силу малой согласованности с опытными данными он практически не используется.

Выявленные недостатки классических критериев потребовали от ученых поиска путей их корректировки. В 1900 г. немецкий ученый

О.Мор предложил условие предельного состояния в виде

σ₁ – mσ₃ = σ_bt,

где m = σ_bt / σ_bc. Это условие отражено штрихпунктирной линией на рис. 6.1.

При m = 1 критерий Мора совпадает с критерием наибольших касательных напряжений. Опыты, проведенные для оценки достоверности критерия Мора, дали наилучшие результаты при σ₁ > 0 и σ₃ < 0. В силу неучета влияния напряжения σ₂ на возникновение предельного состояния материала в окрестности точки тела погрешности (до 17%) оказываются неминуемыми.

Ту же идею преследовал П.П. Баландин, обобщая энергетичес­кий критерий:

В определенном диапазоне напряженных состояний этот критерий дает удовлетворительные результаты.

Н.Н. Давиденков выдвинул идею о наличии у каждого матери­ала двух хара-

ктеристик сопротивления – отрыву и срезу. Для хрупкого поведения их соотно-шение меньше единицы, для пластич­ного поведения – больше единицы. Под влиянием этой идеи Я.Б.Фридман внес на рассмотрение модель, отражающую по возмож­ности основные факторы, влияющие на возникновение хрупкого разрушения или начала текучести, а также на разрушение вслед­ствие среза, наступающего в конце пластической стадии работы материала. Работа над этой моделью представляется перспектив­ной областью исследования.

При наличии концентраторов или большой изменяемости поля напряжений в критериях предельного состояния должны найти отражение не только уровни напряжений, но и их градиенты.