5.5. Линейный физический закон

В упругом анизотропном теле каждый из компонентов напря­жений может зависеть от всех составляющих деформаций:

……………………………

Ограничиваясь малыми деформациями, связь между напряжени­ями и деформациями можно принять линейной:

…………………………………………..

где А₁₁, А₁₂,…, А₆₆ – жесткости линейно-упругого состояния тела (упругие жесткости). Эти зависимости называются уравнени­ями обобщенного закона Гука в прямой форме. Прообразом являет­ся физический закон, обнаруженный Р. Гуком из опыта при одноос­ном напряженном состоянии тела.

Обратные соотношения имеют вид

…………………………………………..

где B₁₁, В₁₂,…, B₆₆ – податливости линейно-упругого состоя­ния тела (упругие податливости). Чем больше А_ij, тем (при не­изменности деформаций) бóльшими будут напряжения, т.е. тем жестче тело. Чем больше В_ij, тем (при неизменности напряжений) бóльшими будут деформации, т.е. тем податливее тело.

Обобщенный закон Гука можно представить в матричной фор­ме:

где – тензор напряжений; – тензор деформаций;

Матрица D называется матрицей упругих жесткостей (матри­цей упругости). Обратная матрица D^-1 по смыслу является матри­цей упругих податливостей.

Поскольку упругому телу присущи обратимые процессы дефор­мирования, то при использовании потенциальной функции напряжений можно обнаружить, что А_ij = А_ji. Следовательно, коэффициен­ты, расположенные симметрично относительно главной диагонали матрицы, попарно равны между собой. Тогда в анизотропном теле число упругих постоянных оказывается равным 21.

Предположим, что одна из координатных плоскостей, напри­мер, плоскость хОу, является плоскостью симметрии упругих свойств. Тогда следует заменить τ_xz и τ_yz на (–τ_xz) и (–τ_yz) соответственно, а γ_xz и γ_yz – на (–γ_xz) и (–γ_yz). При неизменности физических соотношений ряд коэффициентов обраща­ется в нуль:

A₁₅ = A₁₆ = A₂₅ = A₂₆ = A₃₅ = A₃₆ = A₄₅ = A₄₆ = 0.

Так, число упругих постоянных при наличии только одной плоскости симметрии сокращается до 13.

В случае, если через каждую точку тела проходят три орто­гональные плоскости симметрии упругих свойств (ортотропное те­ло), число независимых постоянных снижается до 9 (А₁₄ = А₂₄ = А₃₄ = А₅₆= 0).

Примерами ортотропных материалов служат дерево, фанера, железобетон, армированные пластики, холодный прокат черных ме­таллов.

В случае полной симметрии (изотропное тело), когда любая плоскость есть плоскость упругой симметрии, имеем следующие физические уравнения:

Упругие постоянные E, v и G взаимосвязаны. Это можно показать на примере вычисления деформации сдвига

при совмещении осей x и y с главными осями 1 и 2:

Имея в виду, что получаем

Следовательно, изотропное тело имеет две упругие постоянные, в качестве которых можно принять, например, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона v. Величина G называется модулем сдвига.

Запишем выражения для напряжений:

С учетом этих зависимостей вычислим удельную потенциаль­ную энергию деформаций путем интегрирования

в пределах от 0 до ε_x,… при

где:

Выразив деформации через напряжения, получим

По физическому смыслу упомянутое выше интегрирование сво­дится к вычислению площадей треугольников на линейном участке диаграммы "напряжение − деформация", ограниченном деформациями ε_x,…,γ_zx соответственно:

Следовательно, удельная потенциальная энергия деформации, накапливае-мая в упругом теле, равна полусумме произведений компонентов напряжений на соответствующие им компоненты деформации. Этот факт тесно связан с энергетической теоремой Клапейрона для линейно деформирующегося тела, в связи с чем соответствующую зависимость называют формулой Клапейрона.

Введем величины и и предста-вим рассматриваемую энергию в виде двух составляющих.

Удельная потенциальная энергия изменения объема равна

или

Удельная потенциальная энергия изменения формы равна

или