4.4 Практикум Примеры

1. По двум взаимно перпендикулярным площадкам действуют только касатель-ные напряжения τ (чистый сдвиг). Определить положение главных площадок и величины главных напряжений.

Р ешение: σ_гл.=0± = ± = ± τ.

Поскольку между главными напряжениями существует соотношение σ₁ σ₂ σ₃, то расположив значения главных напряжений на числовой оси, установим:

σ₁>τ; σ₂>τ; σ₃>-τ;

tg2α_о= ; 2α_оarctg = 90 ; α_о=45

Повернув, на α_о= - 45 площадки по отношению к исходным получаем “глав-ные”. σ₁ > 0, поэтому вектор растягивающего напряжения ориентируем от сечения , а вектор сжимающего σ₃ к сечению. Знак минус таким образом реализован направлением вектора.

2 . Определить величину и направление главных напряжений для случая плоского напряжённого состояния, показанного на рисунке:

Решение. Следует помнить, что в формулах:

σ_гл.= ± и tg2α_о= -

1. σ_α > σ_β алгебраически,

2. Знак τ_α определяется на площадке, где действует большее нормальное напряжение (σ_α), а учитывая, что Q= dx знак τ > 0 будет в случае,

если поперечные силы Q > 0, т.е. стремятся повернуть площадку “по часовой стрелке”,

3) если α_о > 0, то поворот совершают “против часовой стрелки” от вектора σ_α > 0, с учётом сказанного: σ_α= + 60 МПа; σ_β= -140 МПа; τ_α= - 40 МПа.

σ_гл.= ± = - 40 ± 107.7.

σ₁= + 67.7 МПа; σ₂=0; σ₃= -147.7 МПа (касательные напряжения в главных площадках отсутствуют).

tg2α_о= = = 0.4; 2α_о= arctg0.4 = 21.2

α_о =10.6 (поворот против часовой стрелки).

Вопросы для повторения

1.Дайте определение понятия «напряжение». Какие виды напряжения различают?

2.Что называют касательным и нормальным напряжением?

3.Какова размерность напряжений?

4.Что обозначают индексы касательного напряжения?

5.Какова зависимость между полным, нормальным и касательным напряжением в точке данного сечения?

6.Как связаны напряжение и внутренние силовые факторы?

7.Какие виды деформаций связаны с каждым из внутренних силовых фак-торов?

8.Чем характеризуют напряженное состояние в точке?

9.Как формулируется закон парности касательных напряжений?

10. Какие площадки называют главными?

11.Чему равны касательные напряжения на главных площадках?

12.Как обозначают главные напряжения? Каково между ними соотноше-ние?

13.Как изменяются величины и при повороте площадки на угол в случае плоского напряженного состояния?

14.Дайте определение линейного, плоского, объемного напряженного сос-тояний используя понятия «главные площадки».

15.Как определить экстремальную величину касательных напряжений, зная напряжения σ_х, σ_у, τ в случае плоского напряженного состояния?

16.Как ориентированы площадки, в которых действуют τ_экстр, по отноше-нию к главным?

17.Какие деформации называют линейными и какие угловыми?

Тесты для повторения

1. Как изменится угол α_о, если горизонтальная компонента нормального напря-жения изменит направление на противоположное (при условии, что σ_х >σ_у)?

(а) уменьшится, но сохранит знак;

(б) возрастёт, но сохранит знак;

(в) уменьшится и изменит знак;

(г) возрастёт и изменит знак.

Ответ: (а), поскольку в первом случае

tg2 α_о= , а во втором tg2 α_о= .

2. Для случая линейного напряжённого состояния (частный случай объёмного, когда два главных напряжения равны нулю) число главных площадок равно:

(а) 1; (б) 2; (в) 3; (г) бесконечное множество.

Ответ: (г), поскольку площадка, перпендикулярная действующему главному напряжению определена в пространстве, а две взаимно перпендикулярны пер-вой и одновременно перпендикулярны между собой, то они могут иметь беско-нечное число положений.

3. Как изменится сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно пер-пендикулярных площадках при плоском напряжённом состоянии, если площад-ки повернуть по часовой стрелке относительно главных?

(а) возрастёт; (б) не изменится; (в) уменьшится; (г) станет равным нулю.

Ответ: (б), поскольку сумма нормальных напряжений в двух взаимно перпен-

дикулярных площадках равна сумме главных напряжений, то для любой пары

взаимно перпендикулярных площадок это сохраняется.

4. Для случая чистого сдвига наименьшее из трёх главных напряжений равно:

(а) σ₃ = τ; (б) σ₃ = 0; (в) σ₃ = -τ; (г) σ₃ = σ₁.

Ответ: (в), так как в главных площадках при плоском напряжённом состоянии σ_гл= ± τ, т.е. σ₃ равно наименьшему значению (алгебраически).

5. Чему равны экстремальные значения касательных напряжений, если извест-но, что одно главное растягивающее напряжение равно 40 МПа, а второе, сжи-мающее равно 60 МПа?

(а) 50 МПа (б) -10 МПа; (в) 40 МПа; (г) –20 МПа.

Ответ: (а), поскольку установлено, что τ_α= (σ_α-σ_β)∙ sin2α, то экстремальное значение τ примет при sin2α =1(α=45 ), а величина τ_экстр.= (40-(-60))= 50МПа.