Контрольные тесты

1. Если J_y=J_z и D_zy=0, то главные оси инерции наклонены к исходным осям под углом:

(а) α = 90˚; (б) α = 30˚; (в) α = 45˚; (г) α = 60˚;

2. Выражение центробежного момента инерции плоского сечения относительно осей “y”и “z” имеет вид:

(а) ; (б) ; (в) ; (г) + .

3. Центробежный момент инерции сечения относительно главных осей:

(а) D_zy > 0; (б) D_zy=0; (в) D_zy < 0; (г) D_zy 0.

4. Осевой момент инерции круглого сплошного сечения определяется по формуле:

(а) ; (б) ; (в) ; (г) .

5. Положение главных осей инерции определяется углом α₀, а tg 2α₀ равен:

(а) ; (б) ; (в) ; (г) .

6. Осевой момент инерции треугольника высотой h и основанием b относительно оси “z”, проходящей через основание определяется по формуле:

(а) ; (б) ; (в) ; (г) .

7. Если J_y < J_z , то при повороте осей на угол α₀ главная ось инерции, ближайшая к оси “z” будет осью:

(а) симметрии; (б) максимума; (в) минимума; (г) нейтральной.

8. При повороте осей на угол α, осевой момент инерции J_y, относительно повёрнутой оси “y”, можно вычислить по формуле:

(а) J_z cos²α + J_y sin²α - D_yz sin2α; (б) J_y cos²α + J_z sin²α + D_yz sin2α;

(в) D_yz cos2α - (J_y-J_z) sin2α; (г) J_z cos²α + J_y sin²α - D_yz sin²α

4. Напряжения и деформации

4.1. Понятие о напряжениях, связь с внутренними усилиями в брусе

Основываясь на модели сплошного тела, можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению. Мерой внутреннего силового поля является напряжение. Есть два представления о напряжениях: среднее напряжение на данной площадке и истинное напряжение в данной точке.

Выделим в сечении С в окрестности точки К элементарную площадку . Равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим . Отношение

выражает среднее напряжение на данной площадке. Уменьшая размеры площадки, в пределе получим

Векторная величина р есть истинное напряжение в точке К в сечении С. Напряжения, как и поверхностная нагрузка, выражаются в Н/м² (Па).

Полагая, что R − непрерывная функция А, получаем

Если R зависит от одной переменной А, то

Напряжение p можно разложить на две составляющие: а) по нормали v к плоскости сечения – нормальное напряжение σ_v; б) в плоскости сечения – касательное напряжение τ_v. Такое разложение представляет практический интерес, поскольку опыты обнаруживают два характерных вида разрушения материала: вследствие отрыва частиц материала друг от друга (разрыв) и вследствие сдвига частиц материала по сечению (срез).

В нутренние усилия в брусе находятся в тесной связи с составляющими напряжений. При выбранной в п.2.1 системе координат нормальное напряжение обозначим σ_x, а вместо одного касательного напряжения покажем два: τ_xy – параллельное оси у, τ_xz – параллельное оси z (рис.4.1).

Первый индекс в обозначении касательного напряжения (х) указывает, что оно действует на площадке, перпендикулярной оси х; второй индекс указывает, какой оси параллельно напряжение. Нормальное напряжение считают положительным если Рис.4.1

его направление совпадает с направлением внешней нормали к плоскости сечения. Касательное напряжение на этой площадке считают положительным,

если его направление совпадает с направлением соответствующей оси коорди-нат.

Суммируя проекции элементарных сил a также их моменты относительно осей Ох, Оy, Оz получаем

Правила знаков внутренних усилий установлены независимо от направления координатных осей, знаки же напряжений связаны с этими осями. Это приводит к необходимости согласования знаков в отдельных уравнениях, выражающих связь внутренних усилий и напряжений.

Интегральные формулы позволяют определить внутренние усилия через напряжения, если установлены законы распределения последних по сечению. Поскольку эти законы зависят от вида деформации, то обратная задача (определение напряжений через внутренние усилия) решается путем совместного использования условий равновесия и условий деформирования тела. Задача становится статически неопределимой.

В общем случае напряженное состояние в точке – состояние тела в окрестности этой точки, определяемое совокупностью всех напряжений, действующих на все элементарные площадки, содержащие рассматриваемую точку.

В дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда входят шесть независимых скалярных величин, соответствующих составляющим напряжений по его граням. Они определяют тензор напряжений:

При этом учитывается свойство парности касательных напряжений (τ_xy = τ_yx, τ_xz = τ_zx, τ_yz= τ_zy): на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к линии пересечения площадок, равны по величине и взаимно направлены либо к линии пересечения, либо от нее.

Если площадка dA совпадает с поверхностью тела, то составляющие напряжения трансформируются в составляющие внешних сил, действующих на

поверхности тела. Соответствующие уравнения выражают условия на поверх-ности, или статические граничные условия.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной. Через точку проходят три главные площадки. По ним действуют главные напряжения, которые обозначаются σ₁, σ₂, σ₃ (σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃).