2/ Сформулировать тезис Чёрча- Тьюринга.

Те́зис Чёрча — Тью́ринга — фундаментальное эвристическое утверждение, существенное для многих областей науки, в том числе, для математической логики, теории доказательств, информатики, кибернетики, дающее интуитивное понятие о вычислимости. Это утверждение было высказано Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов.

Те́зис Чёрча—Тью́ринга

Те́зис Чёрча—Тью́ринга — фундаментальное утверждение для многих областей науки, таких, как теория вычислимости, информатика, теоретическая кибернетика и др. Это утверждение было высказано Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов.

В самой общей форме оно гласит, что любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой, или, эквивалентно, может быть вычислена с помощью некоторой машины Тьюринга.

Тезис Чёрча—Тьюринга невозможно строго доказать или опровергнуть, поскольку он устанавливает «равенство» между строго формализованным понятием частично вычислимой функции и неформальным понятием «интуитивно вычислимой функции».

Физический тезис Чёрча—Тьюринга гласит: Любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга.

3/ Какие математические модели алгоритма Вы знаете?

Модели вычислений

Машина Тьюринга

Лямбда-исчисление — рассматривается пара — λ-выражение и его аргумент, — а вычислением считается применение, или апплицирование, первого члена пары ко второму. Это позволяет отделить функцию и то, к чему она применяется. В более общем случае вычислением считаются цепочки, начинающиеся с исходного λ-выражения, за которым следут конечная последовательность λ-выражений, каждое из которых получается из предыдущего применением β-редукции, то есть правила подстановки.

Комбинаторная логика — трактовка вычисления сходна с λ-исчислением, но имеются и важные отличия (например, комбинатор неподвижной точки Y имеет нормальную форму в комбинаторной логике, а в λ-исчислении — не имеет). Комбинаторная логика была первоначально разработана для изучения природы парадоксов и для построения концептуально ясных оснований математики, причем представление о переменной исключалось вовсе, что помогало прояснить роль и место переменных в математике.

Регистровые машины (англ.)

RAM-машина (англ.) — абстрактная вычислительная машина, моделирующая компьютер с произвольным доступом к памяти. Именно эта модель вычислений наиболее часто используется при анализе алгоритмов.

4/ Из чего состоит машина Тьюринга? Как она работает?

Машина Тьюринга

Машина Тьюринга (МТ) — математическая абстракция, представляющая вычислительную машину общего вида. Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать (при наличии соответствующей программы) любую машину, действие которой заключается в переходе от одного дискретного состояния к другому.

В состав Машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента, разделённая на ячейки, и управляющее устройство с конечным числом состояний.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

В управляющем устройстве содержится таблица переходов, которая представляет алгоритм, реализуемый данной Машиной Тьюринга. Каждое правило из таблицы предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния Машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила, и недетерминированной в противном случае.

Универсальная машина Тьюринга

Универсальной машиной Тью́ринга называют машину Тьюринга, которая может заменить собой любую машину Тьюринга. Получив на вход программу и входные данные, она вычисляет ответ, который вычислила бы по входным данным машина Тьюринга, чья программа была дана на вход.

[править]

Формальное определение

Программу любой детерминированной машины Тьюринга можно записать, используя некоторый конечный алфавит, состоящий из символов состояния, скобок, стрелки и т.п.; обозначим этот машинный алфавит как . Тогда универсальной машиной Тьюринга U для класса машин с алфавитом и k входными лентами называется машина Тьюринга с k+1 входной лентой и алфавитом такая, что если подать на первые k лент входное значение, а на k+1 — правильно записанный код некоторый машины Тьюринга , то U выдаст тот же ответ, какой выдала бы на этих входных данных , или будет работать бесконечно долго, если на этих данных не остановится.

Теорема об универсальной машине Тьюринга утверждает, что такая машина существует и моделирует другие машины с не более чем квадратичным замедлением (т.е. если исходная машина произвела t шагов, то универсальная произведёт не более ct2). Доказательство у этой теоремы конструктивное (такую машину несложно построить, надо только аккуратно её описать). Теорема была предложена и доказана Тьюрингом в 1947 г.

Программная реализация на языке программирования Delphi достаточно проста. С одной из таких реализаций можно ознакомиться на сайте http://kleron.ucoz.ru/load/24-1-0-52 . Предусмотрена возможность загрузки и сохранения в файл Excel.

[править]

Недетерминированная машина Тьюринга

Обобщение детерминированной машины Тьюринга, в которой, при каждом переходе, можно выполнять переход одновременно в несколько (константа) состояний — можно считать, что происходит «клонирование» машины (состояние, содержимое лент, положение головок).

Таким образом, для каждого массива входных данных имеется не один, а несколько (в общем случае — экспоненциальное число) путей, по которым может развиваться вычисление.

Недетерминированная машина Тьюринга выдаст ответ 1, если существует хотя бы один путь развития вычисления, на котором выдается ответ 1, и 0 — в противном случае (таким образом, ответы «ДА» и «НЕТ» в случае недетерминированных вычислений несимметричны).

Класс алгоритмов, выполняемых за полиномиальное время на недетерминированных машинах Тьюринга, называется классом NP.

[править]

Вероятностная машина Тьюринга

Обобщение детерминированной машины Тьюринга, в которой, из любого состояния и значений на ленте, машина может совершить один из нескольких (можно считать, без ограничения общности — двух) возможных переходов, а выбор осуществляется вероятностным образом (подбрасыванием монетки).

Вероятностная Машина Тьюринга похожа на недетерминированную машину Тьюринга, только вместо недетерминированного перехода машина выбирает один из вариантов с некоторой вероятностью.

Существует также альтернативное определение:

Вероятностная машина Тьюринга представляет собой детерминированную машину Тьюринга, имеющую дополнительно аппаратный источник случайных битов, любое число которых, например, она может «заказать» и «загрузить» на отдельную ленту и потом использовать в вычислениях обычным для МТ образом.

Класс алгоритмов, завершающихся за полиномиальное время на вероятностной машине Тьюринга и возвращающих ответ с ошибкой менее 1/3, называется классом BPP.