2.2 Численное решение задачи европейского опциона

Приведем снова постановку задачи об европейском опционе:

(2.2.1)

_{Конечные и граничные условия для «Call» опциона:}

(2.2.2)

_{Конечные и граничные условия для «Put» опциона:}

(2.2.3)

_{Перед тем, как приступать к численному решению задачи (2.2.1)-(2.2.2) или (2.2.1)-(2.2.3), необходимо обозначить круг проблем, которые потенциально могут вызвать ошибки при вычислении:}

1. _{Область изменения аргумента S является бесконечной. Для численного решения необходимо заменить бесконечную область по S на конечную область [0, Smax].}

2. _{Недифференцируемость начального условия по S может вызвать ошибки вычисления, которые могут распространиться на всю область решения.}

3. _{Присутствие очень больших или очень маленьких коэффициентов в уравнении (2.2.1).}

_{Введем обозначения}:

Рассмотрим соотношение параметров .В статье [8] было показано, что при таком соотношении параметров негладкость начального условия при S=E будет распространяться вдоль линии под углом . Кроме того, любая ошибка при t=T будет угасать вдоль линии со скоростью . Чтобы получить точное решение при t=0 на интервале [0, L], вычисления необходимо производить на интервале не меньшем, чем . Такой выбор интервала вычисления гарантирует, что неточность при S=L не распространится внутрь интервала [0, L] при t=0.

В случае, когда негладкость начального условия при S=E будет распространяться в направлении t в плоскости . Чтобы получить точное решение при t=0 на интервале [0,L], вычисления необходимо производить на интервале не меньшем, чем .

Рассмотрим дискретизацию уравнения по S. Первая производная по S заменяется центральной разностной производной (2.1.3):

	(2.2.4)
Вторая производная по S заменяется разностным оператором (2.1.6):
	(2.2.5)

_{Подставляя (2.2.4) и (2.2.5) в уравнение Блека-Шоулза (1.4.6), получаем:}

(2.2.6)

_{Более компактно уравнение (2.2.6) может быть записано в матричной форме:}

_{где матрица B – трехдиагональная.}

_{Теперь перейдем к дискретизации по времени. Схема с опережением записывается следующим образом:}

(2.2.7)

_{Схема Кранка-Никольсона выглядит так:}

(2.2.8)

_{Рассмотрим также конечно – разностную схему обратного дифференцирования по времени со вторым порядком аппроксимации (BDF2, The second-order backward difference formula)}:

(2.2.9)

Так как для вычисления j+1-го значения по схеме (2.2.9) необходимо знать j и j-1-ые значения, то на первом шаге необходимо применять схему, требующую только одного предыдущего значения (в данной работе на первом шаге применялась схема (2.2.7)).

_{Для решения уравнения Блека-Шоулза может быть применена и двухшаговая схема Рунге-Кутты}:

(2.2.10)

_{где .}

Все перечисленные выше схемы имеют второй порядок точности по S и t. На каждом шаге для каждой из перечисленных выше схем необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

(2.2.11)

_{Очевидно, что матрица системы в каждом случае будет трехдиагональной. В принципе, систему (2.2.11) можно решить и методом прогонкой, но …….}