1.4 Вывод формулы Блека-Шоулза для европейского опциона

В модели Блека-Шоулза стоимости европейского опциона принимаются следующие предположения:

1. Цена базисного актива S(t) в течение срока действия опциона описывается уравнением (1.2.1)

2. Безрисковая процентная ставка  и волатильность  считаются заданными константами в течение срока действия опциона T

3. Рынок является безарбитражным

4. По базовому активу не выплачиваются дивиденды

5. Торговля основным активом ведется непрерывно

6. Разрешается короткая продажа, то есть продажа инвестором ценных бумаг, которыми он не владеет в момент продажи, но которые он в итоге должен купить, чтобы отдать долг. Считается, что активы являются сколь угодно делимыми

Итак, предположим, что мы рассматриваем опцион, стоимость которого V(S,t) зависит только от S и t. Мы предполагаем, что функция V(S,t) является дважды дифференцируемой по S и дифференцируемой по t. Используя лемму Ито (1.3.11), мы можем записать:

(1.4.1)

В итоге получаем:

(1.4.2)

Рассмотрим портфель, состоящий из одного опциона и числа основного актива (например, некоторое число акций). Стоимость этого портфеля будет описываться выражением . Изменение стоимости портфеля в единицу времени описывается уравнением:

(1.4.3)

Подставим в выражение (1.4.3) известные выражения для dV (1.4.2) и для dS (1.2.1), получим:

Если , то приращение стоимости портфеля будет описываться уравнением:

(1.4.4)

Так как с помощью выбора числа уравнение, описывающее приращение стоимости портфеля, не содержит случайного процесса, то это означает, что портфель не несет в себе никакого риска. Поэтому, ввиду принципа отсутствия арбитража, он должен быть эквивалентен другим безрисковым ценным бумагам, то есть должно выполняться:

,

(1.4.5)

где r – безрисковая процентная ставка.

Используя уравнения (1.4.4), (1.4.5) и выражение для , получаем:

Перенося всё в левую часть и деля на dt, получаем уравнение Блека-Шоулза для европейского опциона:

(1.4.6)

1.5 Аналитическое решение уравнения Блека-Шоулза

Для того чтобы уравнение Блека-Шоулза (1.4.6) имело единственное решение, необходимо добавить к нему граничные и конечные условия.

Рассмотрим «Call» опцион. Конечное условие при t = T может быть взято из определения опциона «Call». Если к сроку истечения контракта S > E, то опцион будет стоить S-E. В противном случае опцион не будет исполнен и поэтому его цена будет равна нулю. Поэтому конечное условие имеет вид:

(1.5.1)

Для нахождения граничных условий необходимо рассмотреть цену опциона при S=0 и . Если S=0, иначе цена базового актива равняется нулю, то стоимость опциона будет нулевой, то есть V(0,T) = 0. Если же , то вероятность того, что опцион будет исполнен, возрастает, причем цена поставки становится все менее значимой, то есть V(S,t) S, . Мы получили граничные условия:

V(0,T) = 0 V(S,t) S,

(1.5.2)

Сделаем замену переменных:

_{, , .}

Частные производные функции V по S и по t будут иметь вид:

Тогда, поскольку

то, уравнение Блека-Шоулза (1.4.6) принимает вид:

,

(1.5.3)

где .

Конечное условие (1.5.1) принимает вид:

Выполним еще одну замену переменных:

где  и  — некоторые константы, которые мы определим ниже.

Вычислим частные производные: _,

Подставим полученные выше выражения в уравнение Блека-Шоулза (20):

Необходимо выбрать и таким образом, чтобы избавиться в уравнении от u и . Для этого достаточно, чтобы выполнялось:

Решением этой системы является:

Мы получили преобразование от v к u:

(1.5.4)

Заменой переменных уравнение Блека-Шоулза свелось к уравнению диффузии:

(1.5.5)

С начальным условием:

(1.5.6)

Решение уравнения диффузии дается формулой [1]:

Сделаем замену переменных:

Тогда решение преобразуется к виду:

Подставим в решение наше начальное условие (1.5.6) и получим:

(1.5.7)

Рассмотрим каждый интеграл по отдельности. Для взятия первого интеграла необходимо образовать полный квадрат в степени экспоненты. В степени экспоненты стоит:

После преобразований в степени экспоненты получаем:

Первый интеграл в решении преобразуется к виду:

Сделаем замену:

В результате получаем:

где и функция ошибки.

Вычисление второго интеграла в формуле (1.5.7) аналогично вычислению первого интеграла, за исключением того, что вместо (k+1) везде будет (k-1).

Из связи u(x, ) и v(x, ) в (1.5.6):

Вернемся к исходным переменным:

Окончательно решение уравнения Блека-Шоулза для «Call» опциона принимает вид:

(1.5.8)

где , .

Случай, когда вместо опциона «Call» имеется опцион «Put», отличается от рассмотренного только конечными условиями. Аналогично можно получить формулу для определения цены опциона:

(1.5.9)

где и такие же, как и в предыдущем случае.