1.2 Модель ценообразования базового актива
Согласно гипотезе эффективного рынка считается, что цена актива изменяется согласно некоторому случайному закону. Эта гипотеза встречается в различных формах в литературе, однако все они несут в себе две основные идеи: во-первых, история изменения цены полностью отображена в текущей цене актива, а во-вторых, рынок немедленно реагирует на новую информацию об этом активе.
Необходимо отметить, что абсолютное изменение цены актива не так важно, как относительное изменение – изменение цены к величине самой цены. Действительно, если цена актива меняется на 1 доллар при цене актива в 10 долларов это довольно существенное изменение, а если цена акции составляет 100 долларов, то изменение составит всего один процент от цены актива, что не так существенно.
Приведем модель изменения цены актива [1]. Пусть цена акции в момент t есть величина S. Рассмотрим бесконечно малый интервал времени dt . Пусть за этот интервал времени изменение цены акции составило dS. Относительное изменение dS/S обусловлено двумя факторами. Первый из них – это приращение цены за счет безрисковой ставки, под которой понимается абстрактная величина, показывающая, под какой процент всегда возможно положить любую сумму денег, и риск потерять свой вклад при этом будет практически нулевым. Очевидно, что эта величина должна иметь под собой какую-то реальную основу. В США за безрисковую ставку процента обычно принимают процентную ставку по облигациям государственного займа на срок, равный исследуемому периоду. В России безрисковую ставку часто берут равной ставке рефинансирования Центрального банка Российской Федерации (ЦБРФ) — процентной ставке, по которой ЦБРФ выдает кредиты коммерческим банкам. Величина ставки рефинансирования обычно устанавливается телеграммой ЦБРФ.
Приращение цены за счет безрисковой
ставки можно представить в виде
,
где
— это средняя величина изменения актива,
которая также называется блужданием.
В рассматриваемой модели
является постоянной величиной, в
некоторых более сложных моделях величина
представляет собой функцию S и t.
Второй фактор, влияющий на изменение
dS/S,
обусловлен случайным изменением цены
актива за счет внешних факторов, которое
представимо в виде:
,
где
— это волатильность, характеризующая
стандартное отклонение цены актива, X
– броуновское движение, которое будет
рассмотрено ниже.
Итак, получаем, что относительное изменение цены акции подчиняется следующему закону:
|
(1.2.1) |
Под волатильностью понимают меру быстроты изменения рыночных цен базового инструмента. Волатильность измеряет изменение цен без учета их направления.
Различают два вида волатильности:
Историческая волатильность – это величина, равная стандартному отклонению стоимости финансового инструмента за заданный промежуток времени, рассчитанный на основе исторических данных о его стоимости
Ожидаемая волатильность – это величина, вычисленная на основе текущей стоимости финансового инструмента, в предположении, что рыночная стоимость финансового инструмента отражает ожидаемые риски.
Историческую волатильность можно рассчитать по формуле:
,
где: n – число наблюдений,
- изменение цены,
.
При анализе ценового риска на финансовых рынках, например при расчете волатильности, принято работать на с самой последовательностью цен, а с последовательностью относительных изменений. Последовательность относительных изменений имеет ряд преимуществ по сравнению с последовательностью цен. Во-первых, преобразуя последовательность цен в последовательность относительных изменений, мы добиваемся большей сравнимости цен различных активов. Например новые акции могут расти и падать за короткий период в десятки раз, поэтому при расчете волатильности таких акций, нельзя использовать абсолютные значения. Во-вторых, последовательность относительных изменений отличается большей стабильностью в том смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются стационарными, чем среднее и дисперсия последовательности “необработанных” цен.
Относительные изменения рассчитывают двумя путями:
Как относительное изменение цены:
Второй метод заключается в том, что в качестве переменной величины принимают логарифм отношения последующей цены к цене предыдущей (обычно это цены закрытия на фондовой бирже), а именно:
