Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Физико-механический факультет

Кафедра «Прикладная математика»

Работа допущена к защите

Зав. кафедрой

________________В.Е. Клавдиев

"___"_________________2008 г.

Выпускная работа бакалавра

Тема: "Численное решение уравнения Блека-Шоулза для нахождения стоимости опционов"

Направление: 510200 – Прикладная математика и информатика

Выполнила студентка гр.4057/3 А.С. Шелухо

Руководитель, к.ф.-м.н., доц. И.Е. Ануфриев

Санкт-Петербург

2008

Оглавление

1. Модель Блека-Шоулза 5

1.1 Основные понятия 5

1.2 Модель ценообразования базового актива 8

1.3 Броуновское движение. Интеграл Ито 10

1.4 Вывод формулы Блека-Шоулза для европейского опциона 13

1.5 Аналитическое решение уравнения Блека-Шоулза 15

2. Численное решение уравнения Блека-Шоулза 21

2.1 Основные понятия 21

2.2 Численное решение задачи европейского опциона 26

2.2.1 Прямой метод решения СЛАУ 29

2.2.2 Итерационные методы решения СЛАУ 32

2.3 Численное решение задачи американского опциона 34

2.3.1 Алгоритм Бреннана-Шварца с LU-разложением 35

2.3.2 Алгоритм PSOR (Projected SOR) 36

2.4 Результаты численного решения задачи американского опциона 36

Заключение 39

Литература 40

Введение

Во введении мы обратимся к истории появления деривативов — финансовых ценных бумаг, стоимость которых является производной от стоимости и характеристик другой или других ценных бумаг. К деривативам относятся фьючерсы, форварды, опционы, определение которых будет дано в первой главе. Введение написано по материалам, приведенным в [2], [3].

Опционы имеют длинную историю. Считается, что первые опционы появились во времена тюльпаномании — ­­­30-е года 17 века, когда цены на луковицы тюльпанов в Голландии достигли невероятной величины. Торговцы тюльпанами, желавшие подстраховать свои возможности наращивания запасов при росте цен, покупали так называемые сейчас Call опционы, дающие им право, но не налагавшие обязанность, купить луковицы в течение определенного срока по оговоренной цене. Цветоводы в поисках защиты от падения цен покупали Put опционы, дающие им право поставить или продать тюльпаны другой стороне по заранее оговоренной цене. Другая сторона в этих опционах – продавцы – брала на себя риски в обмен на премии, уплачиваемые покупателями опционов. Продавцам Call опционов премии компенсировали риск роста цен, а продавцам Put опционов – риск падения цен.

К 20-м годам 19 века на Лондонской фондовой бирже появились опционы на акции, а в 60-х годах в США уже существовал внебиржевой рынок опционов на товары и акции. Первоначально биржевой и внебиржевой торговле опционами сопутствовали многочисленные проблемы – ощущался недостаток регулирования, нередко случались отказы от контрактных обязательств и т.п.

Опционы, как и другие производные финансовые инструменты, нужны только в условиях неустойчивости финансового рынка. Примерно с 1970-х годов неустойчивость и неопределенность стали проявляться в сферах, долгое время отличавшихся стабильностью. До начала 1970-х годов обменные валютные курсы фиксировались решениями правительств, цены на нефть колебались в узких пределах, а общий уровень цен рос не более чем на 3 или 4 процента в год. Внезапное появление новых видов риска в областях, считавшихся ранее стабильными, подтолкнуло к поиску новых и более эффективных инструментов управления рисками.

Биржевая торговля опционами на американские акции началась в 1973 году, когда была основана Чикагская опционная биржа (CBOE ­­­- Chicago Board Options Exchange). К 1978 году на Лондонской финансовой бирже фьючерсов и опционов (LIFFE - London International Financial Futures and Options Exchange), торговали опционами на ограниченное число британских акций.

К концу 80-х – началу 90-х годов на внебиржевых рынках производных инструментов уже существовал широкий спектр опционов, удовлетворявший финансовые потребности потребителей.

В России опционы не имеют такого широкого распространения как за рубежом. Как показал анализ сайтов российских бирж, в данный момент торговля опционами ведется только на фондовой бирже РТС – Российская Торговая Система.

Интерес с математической точки зрения к опционам возник задолго до их широкого распространения. Первая попытка использовать не интуитивный, а математический подход к оценке опционов была предпринята Луи Башелье в 1900 году. Он написал диссертацию о фиксации стоимости опциона, привязав эту стоимость к стоимости акции. Его модель ценообразования опциона учитывала нулевую процентную ставку и не допускала отрицательной динамики акций, поэтому и не была серьезно воспринята научным миром. В последующих моделях, например, лауреата Нобелевской премии 1970 года Пола Самуэльсона было учтено, что курс акций подчиняется нормальному распределению и что риск не является обязательным и можно делать надбавки за риск (премии). В начале семидесятых годов Майрон Шоулз, Роберт Мертон и Фишер Блек совершили прорыв в ценообразовании сложных финансовых инструментов, создав модель, которая теперь известна как модель Блека-Шоулза. В 1997 году их достижение было официально признано мировым сообществом: Майрон Шоулз и Роберт Мертон получили Нобелевскую премию по экономике. Фишер Блек не дожил до этого момента два года.

Целью данной работы является численное решение уравнения Блека-Шоулза, описывающего изменение стоимости опционов. В главе 1 раскрывается смысл основных терминов, использующихся при дальнейшем изложении, приводится модель Блека-Шоулза стоимости европейского и американского опционов и аналитическое решение уравнения для европейского опциона. В главе 2 рассматриваются основные подходы для численного решения задач как европейского, так и американского опционов, приводятся результаты работ алгоритмов и их сравнение.