2.5 Однородные и неоднородные линейные рекуррентные соотношения

Рассмотрим последовательность

Определение. Последовательность называется возвратной, если для некоторого k и всех n выполняется соотношение вида

(13)

где постоянные коэффициенты p_i;i=1;2;…;k не зависят от n.

Многочлен (14)

называется характеристическим многочленом для возвратной последовательности .

Соотношение (15)

называют однородным линейным рекуррентным соотношением.

Из формулы (15) найдем общий член , для этого достаточно найти производящую функцию последовательности - функцию . Введем вспомогательный многочлен и рассмотрим произведение , при этом степень С(t) не превышает k-1, поскольку коэффициенты при t^n+k ,k=0;1;… будут равны нулю в силу уравнения (15). Пусть характеристическое уравнение (14) имеет простые (может быть кратные) корни, т.е. допускает разложение вида . Тогда ,

.

Характеристическую функцию можно представить в виде

(16)

Известно, что , то , и, следовательно, . (17)

Формула (17) дает разложение производящей функции последовательности . Для нахождения формулы общего члена необходимо найти коэффициенты при tⁿ в разложении (17).

Пример1. Найти общий член последовательности , удовлетворяющей рекуррентному соотношению .

Решение. Перепишем исходное рекуррентное соотношение в виде (15)

Характеристический многочлен L(t) имеет вид , тогда

,

Т.к. тогда .

Методом неопределенных коэффициентов получим

.

Способы нахождения общего решения рекуррентных соотношений:

1. Если возвратная последовательность (13) полностью определяется заданием ее первых k членов, то

…………………………………….

. 2. Если t является корнем характеристического многочлена (14), то последова- тельность {tⁿ} удовлетворяет соотношению (13), тогда .

3. Если t_1;t₂;…;t_k простые (некратные) корни характеристического многочлена(14), тогда общее решение рекуррентного соотношения (13) имеет вид

, (18)

где с₁;с₂;…;с_к – подходящие константы.

4. Если есть корень многочлена (14) кратности , то общее решение рекуррентного соотношения (13) имеет вид

, (19)

где с_i,j=1;2;…;r; j=1;…; - произвольные константы, r – количество кратных корней.

Пример 2. Найти общее решение для примера 1.

Решение. Характеристический многочлен имеет корни t₁=1; t₂=3, тогда по формуле (18) получим .

Пример 3. Решить неоднородное рекуррентное соотношение .

Решение.

,

,

,

,

,

.

Отсюда .

Лекция 3. Функция Эйлера

Определение. Функцией Эйлера называется функция , определенная на множестве N , значения которой равны числу k натуральных, может быть, и составных целых чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n, т.е. .

Для n=1 полагают . Знаком обозначается наибольший общий делитель натуральных чисел a и b. Взаимно простыми называются числа, наибольший делитель которых равен единице. Например, натуральные числа 5 и 7 взаимно просты, т.к. (5,7)=1.

Функция Эйлера аналитически выражается следующим образом:

, (1)

где к – есть число простых делителей q_i числа n, i=1;2;…;k.

Чаще функция Эйлера записывается в другом виде

. (2)

Посчитаем значения для n=1;2;…;10. Разложим в таблице1 числа с 1 до 10 на простые делители.

Таблица 1

1=11	6=2131
2=21	7=71
3=31	8=23
4=22	9=32
5=51	10=2151

1. по определению.

2. , (1,2)=1. Это число1.

3. , (1,3)=1; (2,3)=1. Два числа не превосходят 3 и взаимно просты с числом 3; это числа 1 и 2.

4. , (1,4)=1; (3,4)=1. Это числа 1 и 3.

5. , (1,5)=1; (2,5)=1; (3,5)=1; (4,5)=1. Четыре числа удовлетворяют условию существования функции Эйлера. Это числа 1,2,3,4.

6. , (1,6)=1; (5,6)=1. то числа 1 и 5.

7. , (1,7)=1; (2,7)=1; (3,7)=1; (4,7)=1; (5,7)=1; (6,7)=1. Значения функции Эйлера в этом случае равно шести, т.к. шесть чисел удовлетворяют условию существования функции Эйлера. Это числа 1,2,3,4,5,6.

8. , (1,8)=1; (3,8)=1; (5,8)=1; (7,8)=1. Значение функции Эйлера равно четырем. Это числа 1,3,5,7.

9. , (1,9)=1; (2,9)=1; (4,9)=1; (5,9)=1; (7,9)=1; (8,9)=1. Это числа 1,2,4,5,7,8.

10. , (1,10)=1; (3,10)=1; (7,10)=1; (9,10)=1. Это числа 1,3,7,9.

Функция Эйлера для первых десяти значений аргумента может быть задана как в табл.2.

Таблица 2

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4

Свойства функции Эйлера:

1. Если , то .

Пример. (3,7)=1, то ,

.

2. .

Пример. Возьмем n=8; n=2³,

.

3. .

4. , где d – различные делители числа n.

Пример. Если n=10=2¹5¹, то .

Выражение означает, что суммирование ведется по всем делителям числа10

т.е. .

5. , где

Пример. x=3; x=7.

Решение.

Или , то .