2.4. Производящие функции для некоторых схем выбора

1. Производящая функция для (n;r) – сочетаний с ограниченным числом повторений

В этом случае для получения производящей функции нельзя воспользоваться формулой , поскольку всякий такой бином отражает лишь две возможности: элемент x_k множества либо не появляется в r – сочетании, либо появляется ровно один раз. Пусть элемент x_k появляется в r – сочетании с повторениями 0;1;2;…;j раз, тогда точно i появлениям элемента x_k будет соответствовать одночлен , а по правилу суммы появлению элемента x_k либо 0, либо 1, … , либо j раз должен соответствовать многочлен . Тогда производящая функция имеет вид ( ). (7)

Если надо найти лишь число соответствующих - сочетаний, то необходимо положить x₁=x₂=…=x_j=1 и . (8)

Коэффициенты будут равны числу сочетаний из n элементов по k с j повторениями.

Пример. Рассмотрим сочетания из трех предметов 1;2;3, причем 1 и 2 могут встречаться не более двух раз, а 3 – не более одного раза.

Решение. Составим производящую функцию по формуле (7):

Если положить x₁=x₂=x₃=1, то получим . Если не приравнивать то, коэффициент при t³ показывает состав r – сочетаний с указанными повторениями: 112;113;122;123;223. Коэффициент при t⁵ - число r – сочетаний из трех элементов по пять с повторениями: 11223.

2. Производящая функция для (n;r) – сочетаний с неограниченным числом повторений

Найдем производящую функцию для (n;r) – сочетаний с условием, что хотя бы один элемент каждого вида появится в выборке. Очевидно, что будет иметь вид . (9)

Сделаем замену индекса суммирования n+k=r , тогда получим

.

Здесь , следовательно число искомых r – сочетаний равно нулю при и при

3. Применение производящих функций для получения комбинаторных чисел

Применим теорию производящих функций и получим выражения чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи В_n равны числу способов расположения n знаков, из которых каждый – нуль или единица, в последовательность, не содержащую двух нулей подряд. Эта последовательность задается рекуррентной формулой

(10)

Рассмотрим производящую функцию последовательности чисел Фибоначчи . Умножим рекуррентное уравнение в формуле (10) на t^k и просуммируем полученное выражение от двух до бесконечности. Два числа В₀ и В₁ известны из начальных данных, поэтому необходимо отбросить индексы к=0 и к=1. В результате получим уравнение

или .

Учитывая выражение для производящей функции, получим

Тогда

. (11)

Т.к. обычный степенной ряд, представляющий производящую функцию, есть ряд Тейлора в окрестности точки t=0 , то приведенное выражение можно разложить в ряд Тейлора и получить формулу общего члена B_k. Тогда будем иметь

. (12)