1.4 Задание качества управления выбором корней характеристического полинома

Чтобы обеспечить «оптимальное» протекание реакции системы на ступенчатый единичный входной сигнал, предлагались различные способы

____________

¹⁾ полагаем в (2)

распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Каждое такое стандартное распределение соответствует определенному виду передаточной функции системы, которая получится в результате расположения корней характеристического уравнения в соответствии с выбранным стандартным распределением. Стало быть и качество управления обеспечивается выбором расположения корней характеристического уравнения. При этом не стоит забывать, что динамические характеристики системы (переходный процесс) зависят не только от расположения полюсов передаточной функции на комплексной плоскости, но и от расположения ее нулей. Следовательно, применяя модальный регулятор, мы всегда можем обеспечить устойчивость замкнутой системы, но не можем в точности гарантировать прямые показатели качества регулирования (например заданные перерегулирование и время переходного процесса).

В монографии [5] описаны основные стандартные распределения полюсов передаточной функции и соответствующие графики переходных процессов (при единичном коэффициенте усиления). Ниже в качестве иллюстрации мы приводим некоторые из них. Во всех полиномах принимается, что - быстродействие, при этом время переходного процесса для системы связано с быстродействием следующим соотношением: .

1.4.1 Биномиальное распределение

Самый простой способ заключается в назначении всех корней характеристического уравнения в одной точке с координатами

(- ;0 j), здесь ,

(где > 0) на комплексной плоскости; значение определяется требованиями к быстродействию системы (чем больше , тем меньше время регулирования). Тогда характеристический полином обращается в бином Ньютона (s + )ⁿ, раскрывая который, получаем следующие выражения для характеристического полинома:

,

,

,

,

,

и т.д. Соответствующие расположение корней характеристического уравнения и графики переходных процессов показаны на рис. 2.

Рис. 2. Расположение корней характеристического уравнения и поведение переходных процессов для биномиальной схемы

Биномиальное распределение применяется в тех случаях, когда необходимо обеспечить монотонный переходный процесс.

1.4.2 Распределение Баттерворта

Способ, предложенный Баттервортом, заключается в назначении корней на полуокружности радиуса в левой части комплексной плоскости, расположенных на равном угловом расстоянии друг от друга. С помощью теоремы Виета, связывающей корни с коэффициентами, можно составить уравнения для характеристического полинома. Ниже приводятся выражения соответствующих характеристических полиномов с первого по пятый порядок включительно:

,

,

,

,

.

Реакции систем Баттерворта (рис. 3) на ступенчатое воздействие по сравнению с аналогичными реакциями биномиальных систем более колебательны, но во многих случаях они соответствуют интуитивному представлению об оптимальном переходном процессе.