Министерство ПО ОБРАЗОВАНИЮ и науке РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ кибернетики, информатики и связи
Кафедра Кибернетических систем
Методические указания
к лабораторной работе №7
«Метод синтеза модального регулятора»
по дисциплине «Теория автоматического управления»
для студентов специальности УИТС и направления УИТСб.
Тюмень
2011
Цель работы: изучить метод синтеза модального регулятора полного порядка; для заданной передаточной функции рассчитать модальный регулятор.
1 Необходимые теоретические сведения
1.1 Общие понятия
Линейный одномерный стационарный динамический объект управления P чаще всего задается в одном из следующих представлений.
Дифференциальным уравнением n-го порядка
при условии1)
,
где
- непрерывное время,
и
– входной (управляющий) и выходной
(управляемый) сигналы соответственно;
и
- i-тые
производные этих сигналов по времени.
Дифференциальное уравнение удобно представлять в операторном виде:
(1)
где
и
– дифференциальные операторы:
,
,
i
= 1, 2, … n,
.
От операторной формы записи легко перейти к представлению
,
здесь
и
– изображения Лапласа сигналов
и
,
s
– переменная преобразования Лапласа,
а
– передаточная
функция
объекта:
.
Иногда используют следующее представление объекта:
где
,
интегрально-дифференциальный оператор (операторная передаточная функция). Знаменатель передаточной функции называется характеристическим полиномом, а уравнение
____________
1) данное условие вытекает из условия физической реализуемости объекта P
характеристическим уравнением системы. Корни этого уравнения называются полюсами передаточной функции, а корни числителя передаточной функции, соответственно, – нулями передаточной функции.
Статические свойства системы определяются коэффициентом усиления, который может быть вычислен по формуле
,
или
при
ненулевых
и
в выражении для передаточной функции
;
динамические – расположением полюсов
передаточной функции на комплексной
плоскости.
1.2 Постановка задачи синтеза модального регулятора
Пусть линейный одномерный объект управления P задан дифференциальным уравнением n-го порядка в операторном виде (1). Регулятор R будем искать в виде динамического звена l-го порядка:
где
,1)
(2)
где
- входной (программный) сигнал для
замкнутой системы.
Уравнение замкнутой системы (см. рис. 1) имеет вид
.
(3)
Качество управления задается эталонной моделью (или, сокращенно – эталоном):
.
(4)
При этом задача синтеза модального регулятора заключается в определении коэффициентов регулятора (2), при которых уравнение замкнутой системы в точности соответствует уравнению эталона.
Рис. 1. Замкнутая система управления
1.3 Технология расчета
Приравнивая, соответственно, левые и правые части уравнений (3) и (4) получаем соотношения:
____________
1) данное условие обеспечивает физическую реализуемость замкнутой системы
,
(5)
.
(6)
Данные
уравнения понимаются в смысле равенства
коэффициентов при одинаковых степенях
оператора
в левой и правой частях. Поскольку
свойство устойчивости и качество
управления определяется полюсами
передаточной функции (или, что то же
самое, корнями характеристического
уравнения) особое значение имеет
обеспечение условия (5).
Приравнивая
в (5) коэффициенты при одинаковых степенях
,
получаем систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных
коэффициентов полиномов
и
;
разумно данную систему уравнений по
возможности упростить: полагая
(с учетом
)
из уравнения при старшей степени
получаем
,
в итоге приходим к системе из
уравнений относительно
неизвестных. Рассмотрим, когда такая
система имеет решение.
Из алгебры известно, что система линейных алгебраических уравнений в общем случае (то есть в случае, если система уравнений не вырождена):
- не имеет решений, если число уравнений больше числа неизвестных;
- имеет единственное решение, если число уравнений равно числу неизвестных;
- имеет бесконечное множество решений, если число уравнений меньше числа неизвестных.
Из сказанного вытекает следующее условие разрешимости данной системы относительно неизвестных:
,
откуда
следует условие на порядок l
регулятора (здесь учтено условие
):
.
Модальные регуляторы порядка
,
(7)
следуя
[11], будем называть регуляторами полного
порядка.
Такое название подчеркивает тот факт,
что обеспечить точное равенство в (5)
при
возможно только в каких-то частных
случаях, в общем же случае невозможно.
Для регуляторов полного порядка система
расчетных уравнений принимает вид
,
(8)
где
– вектор искомых коэффициентов
регулятора1)
,
(9)
– матрица,
____________
1)
для простоты вычислений далее полагаем
, (10)
а
– вектор вида
. (11)
Поскольку
нули передаточной функции (корни полинома
)
слабо влияют на поведение переходного
процесса, условием (6) при расчетах
модального регулятора пренебрегают.
Чаще всего
ищется в виде коэффициента
,
обеспечивающего заданный коэффициент
(12)
(при
условии
).
Подводя итоги ранее сказанному, приходим окончательно к следующей процедуре расчета настроек регулятора (2).
Алгоритм расчета модального регулятора полного порядка.
1. По формуле (7) определяется порядок l модального регулятора.
2. По формулам (10) и (11) составляются матрица и вектор .
3. С найденными и решается система уравнений (8) относительно вектора X.
4. По
известному вектору X
по формуле (9) определяются коэффициенты
операторов
и
(при этом
).
5. Из выражения (12) определяется коэффициент 1).