3. Нормальный закон распределения результатов измерений
Многие ряды распределения, встречающиеся в статистических наблюдениях, можно охарактеризовать формулами разных математических функций. Функции или законы распределения случайных величин бывают: биноминальное, геометрическое, равномерное, нормальное и др. Самым важным в статистике является нормальное распределение.
Нормальное распределение – это совокупность объектов, в которой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появляются редко; чем ближе значение признака к среднему значению, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному.
Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается и в спортивной практике.
Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:
(5.1)
где
и e
– математические константы (
= 3,141; e
= 2,718);
и
– соответственно, среднее арифметическое
и среднее квадратическое отклонение
результатов измерений; xi
– результаты измерений; f(x)
– так называемая функция плотности
распределения.
Плотность распределения – это количество признака в единице интервала.
Формула (5.1) позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рисунок 5.1), которая симметрична относительно центра группирования (как правило, это значение среднего арифметического ).
Рисунок 5.1 – Кривая нормального распределения
Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов (см. рисунок 2.1 II этапа игры).
Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая по достаточно сложной формуле (5.1), используют так называемое нормированное (или стандартное) нормальное распределение, для которого составлены подробные таблицы.
Нормированное нормальное распределение имеет параметры = 0 и σ = 1. Это распределение получается, если пронормировать нормально распределённую величину x по формуле:
.
Плотность распределения вероятностей нормированного нормального распределения записывается в виде:
.
Н
а
кривой нормированного нормального
распределения (рисунок 5.2) указаны в
процентах доли площадей, соответствующих
отмеченным значениям нормированного
отклонения u,
по отношению к общей площади под кривой,
равной 1 (100 %). Эти площади определяют
вероятности попадания случайной величины
в соответствующие интервалы.
Рисунок 5.2 – Кривая нормированного распределения
4. Основные свойства кривой нормального распределения (рисунок 5.1)
1. Кривая симметрична относительно среднего арифметического (моды, медианы).
2. При x
=
.
3. При
.
4. Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице.
5. Кривая
имеет две точки перегиба при
.
5. Влияние и σ на вид кривой нормального распределения
1.
Изменение среднего арифметического
значения не меняет форму кривой, а
приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси
X:
при
= const.
Рисунок 5.3 – Влияние на вид кривой нормального распределения
2. С увеличением максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении кривая становится более островершинной. При любых значениях и площадь, ограниченная кривой и осью X, одинакова и равна единице.
В результате спортивной тренировки средняя арифметическая должна улучшаться (в зависимости от вида спорта или увеличиваться, или уменьшаться), а стандартное отклонение должно уменьшаться. С увеличением стабильности и устойчивости спортивных результатов, составляющих нормально распределенные выборки, кривая распределения становится более островершинной.
Рисунок 5.4 – Влияние на вид кривой нормального распределения