12

Лабораторная работа 13 Теплопроводность газов

Цель работы: экспериментально исследовать явление теплопроводности газов.

Общее уравнение переноса. При нарушениях равновесия в средах возникают потоки тепла, либо массы, либо импульса и т.п. В связи с этим, соответствующие процессы носят название явлений переноса. Явления переноса представляют собой необратимые процессы.

Введем некоторую скалярную величину , которая характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть энергия, импульс, концентрация, электрический заряд и т.д.

Известно, что градиентом какой-либо величины (скалярной) , зависящей от координат, называется вектор, характеризующий быстроту изменения этой величины в пространстве. Этот вектор направлен в сторону наиболее быстрого возрастания и численно равен быстроте этого возрастания.

Если в равновесном состоянии величина постоянна по объему, то при наличии градиента , имеет место движение этой величины в направлении его уменьшения.

Д ля удобства расчетов предположим, что в неограниченной среде перенос количества происходит в одном направлении, вдоль которого направим ось . То есть, пусть ось направлена вдоль градиента . Выделим в среде площадку , перпендикулярную к оси (рис.1).

Рис.1. К выводу общего уравнения переноса

Площадку пересекают молекулы, пришедшие со всевозможных направлений и пересекающие ее в направлении отрицательных значений оси . Число молекул в объеме равно , где – концентрация молекул вещества. Частица движется со средней скоростью и, следовательно, проходит среднюю длину свободного пробега за время . Поэтому средняя частота столкновений (среднее число столкновений за одну секунду) равна . В течение времени число молекул из данного объема в результате столкновений летят изотропно по всевозможным направлениям, в том числе и в направлении площадки , которая видна из элемента объема под углом . Число молекул, пересекших площадку и на пути от элемента объема не испытавших ни одного последующего столкновения, равно

, (1)

где – множитель, который учитывает выбывание молекул из пучка из-за столкновений с другими молекулами;

– множитель, который определяет число молекул, приходящихся на данный телесный угол;

– расстояние от объема до центра площадки .

Поток числа молекул, пересекающих поверхность в единицу времени, равен

(2)

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– среднее число столкновений в секунду,

– средняя длина свободного пробега.

Теперь вычислим среднее расстояние вдоль оси , которое проходят молекулы, пересекающие площадку после последнего столкновения. Из теории вероятности известно, что среднее значение непрерывно изменяющейся величины равно

(3)

где дается формулой (1). В результате интегрирования (3) выражение для среднего расстояния, пробегаемого молекулами, пересекающими площадку (рис.1) после последнего столкновения примет вид

, (4)

где – средняя длина свободного пробега молекулы.

Запишем на расстоянии от площадки с учетом того, что эта величина в большинстве случаев достаточно мала и ограничившись первым членом разложения в ряд Тейлора в точке :

. (5)

Поток числа молекул в направлении оси , согласно формуле (2) равен . Следовательно, поток сквозь площадку в направлении отрицательных значений оси равен

, (6)

а в направлении положительных значений оси дается выражением

, (7)

Следовательно, суммарный поток в положительном направлении оси в точке имеет вид

, (8)

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– средняя длина свободного пробега молекулы,

– частная производная величины по .

Уравнение (8) является основным уравнением процессов переноса количества .

Здесь использован символ частной производной, поскольку величина зависит и от времени и от координаты .

Выражение (8) можно легко обобщить на случай трехмерного пространства:

, (9)

где , (10)

где – единичные векторы, направленные по осям прямоугольной системы координат;

– единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания .

Уравнение Фурье для теплопроводности газов. Теплопроводность – это процесс переноса теплоты из области с более высокой температурой в область, где она ниже, в результате теплового движения микрочастиц в среде. Таким образом, передача теплоты при теплопроводности приводит к выравниванию температуры среды.

Силы взаимодействия между молекулами газа не велики и, следовательно, не оказывают существенного влияния на их движение. Кроме того, молекулы газа проходят свободно без столкновений расстояние, соответствующее средней длине свободного пробега. Следовательно, теплопроводность в газах осуществляется передачей теплового движения от одних молекул другим в большей степени в результате перемещения молекул газа и в меньшей – в результате их взаимодействия друг с другом.

Предположим, что передача теплоты осуществляется исключительно путем теплообмена, что конвекции нет, и, что потерями теплоты на лучеиспускание можно пренебречь. Кроме того, будем предполагать, что объем системы остается постоянным, так что никаких перемещений вещества в процессе передачи теплоты не возникает. И сначала, для простоты, ограничимся рассмотрением одномерной задачи, когда температура среды, помимо времени, зависит только от одной пространственной координаты.

В этом случае (в случае теплопроводности) есть средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она переменна в том случае, если от точки к точке меняется температура. При этом – поток теплоты, который входил в уравнение (9) и который далее будем обозначать .

Из теоремы о равнораспределении энергии по степени свободы имеем

(11)

где – температура,

– число степеней свободы,

– постоянная Больцмана,

– число Авогадро,

– универсальная газовая постоянная,

– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Тогда подставляя это в уравнение переноса (8) получим

. (12)

То есть уравнение Фурье для теплопроводности газов

, (13)

где – плотность теплового потока (то есть количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади поверхности);

– коэффициент теплопроводности;

– частная производная температуры по .

Уравнение (13) можно обобщить на трехмерный случай:

, (14)

или в векторном виде:

, (15)

где – вектор плотности теплового потока;

– коэффициент теплопроводности;

– градиент температуры.

В уравнении Фурье для теплопроводности газов знак “–“ выражает направление переноса тепла от области с большей температурой к области с меньшей температурой, тогда как градиент направлен в сторону возрастания этой величины.

Коэффициент теплопроводности газов. Коэффициент пропорциональности в уравнении Фурье для теплопроводности (15) – это и есть коэффициент теплопроводности. Он является физическим параметром, характеризующим интенсивность процесса теплопроводности в веществе, т.е. скорость переноса тепла.

Физический смысл коэффициента теплопроводности вытекает непосредственно из закона Фурье (15): коэффициент теплопроводности численно равен плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Это означает, что в случае однородного изотропного тела коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, проходящему через единицу поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности при перепаде температуры на единицу длины нормали, равном одному градусу. В случае изотропной среды, когда величина коэффициента не зависит от направления, векторы и лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Размерность коэффициента теплопроводности в системе СИ – ватт на метр-кельвин: .

Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества, его состава, чистоты, температуры, давления и других факторов.

Что касается зависимости от агрегатного состояния, то теплопроводность газов при нормальных условиях обычно в несколько десятков и сотен раз меньше теплопроводности жидкостей, и в сотни тысяч и миллионы раз меньше, чем теплопроводность твердых тел. Численное значение для воздуха при нормальных условиях составляет .

Из уравнения (12) видно, что коэффициент теплопроводности газов

, (16)

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– средняя длина свободного пробега молекулы,

– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме,

– число Авогадро,

– плотность вещества,

– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,

– масса молекулы.

Теперь рассмотрим, от каких факторов зависит и, следовательно, от каких не зависит коэффициент теплопроводности газов.

Поскольку для всех молекул примерно одинаковы, и значения мало отличаются для различных газов, главное изменение теплопроводности при фиксированной концентрации частиц газа происходит из-за различия в средней скорости теплового движения молекул:

, (17)

где – средняя скорость молекулы;

– постоянная Больцмана;

– температура вещества;

– масса молекулы.

Из формул (16) и (17) следует, что коэффициент теплопроводности газов обратно пропорционален (у легких газов коэффициент теплопроводности больше, чем у тяжелых) и прямо пропорционален . В действительности же коэффициент теплопроводности, как показывает опыт, растет с температурой несколько быстрее, чем . Это объясняется тем, что коэффициент теплопроводности прямо пропорционален еще и средней длине свободного пробега, а эта величина тоже растет с температурой. Для многоатомных газов необходимо еще учесть возрастание теплоемкости с температурой.

Из входящих в (16) величин только число молекул в единице объема и длина свободного пробега зависят от давления. Но прямо пропорционально давлению газа ( ), а обратно пропорциональна давлению газа, так как средняя длина свободного пробега молекулы газа

, (18)

где – эффективный диаметр молекулы,

– концентрация молекул.

Следовательно, коэффициент теплопроводности газов не зависит от давления (исключение составляет случай малых давлений).

Установим связь коэффициента теплопроводности с другими коэффициентами, характеризующими процессы переноса.

Известно, что коэффициент динамической вязкости равен

, (19)

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– средняя длина свободного пробега молекулы,

– масса молекулы,

– плотность вещества.

А коэффициент диффузии равен

, (20)

где – средняя скорость молекул вещества,

– средняя длина свободного пробега молекулы.

Тогда из выражений (16), (19) и (20) следует, что

, (21)

и , (22)

где – коэффициент теплопроводности,

– коэффициент динамической вязкости,

– коэффициент диффузии,

– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме,

– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,

– число Авогадро,

– масса молекулы,

– плотность вещества.

Наличие этой связи между коэффициентами процессов переноса обусловлено одинаковой физической природой процессов переноса и тем, что все они описываются одинаковыми уравнениями вида (8).