§8. Теорема о базисном миноре матрицы.

1°. Линейная зависимость строк матрицы.

Пусть P – поле.

Def1 Будем говорить, что строка B=(b₁, …, b_n) b_i Є P является линейной комбинацией строк A₁=(a₁₁, …, a_1n,), …, A_k=(_k1, …, a_kn,), a_ij Є P, если для некоторых α₁,…, α_k Є P справедливо

b_j=α₁a_ij + … + α_kj, j=1, …, n. (1)

Это равенство удобно записать в матричном виде:

B=α₁A₁+ … + α_kA_k. (1’)

Def2 Строки A₁=(a₁₁, …, a_1n,), …, A_k=(_k1, …, a_kn,) назовем линейно зависимыми, если такиеодновременно не равные нулю, такие что

Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, A₁, …, A_k – линейно независимы, если равенство возможно лишь когда

Теорема 1: Строки A₁, …, A_k – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.

Док-во:

но

2°. Теорема о базисном миноре.

Рассмотрим матрицу A Є P_{m, n}, где P-поле матрицы размера m·n

Def3 Число r 0 называется рангом матрицы A, если

1)минор порядкаr, отличный от нуля.

2) Все миноры (r+1)-го порядка равны нулю.

Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Минор r-го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Теорема 2(теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Док-во (Рассуждение для строк):

Покажем, что базисные строки линейно независимы

Если первая, например, строка – линейная комбинация остальных, то вычитая в базисном миноре из первой строки линейную комбинацию остальных, получим нулевую строку базисный минор нулевой – противоречие.

Докажем, что строкаA является линейной комбинацией остальных. Т.к. при переменах строк и столбцов определитель сохраняет свойство равенства (неравенства) нулю, то будем считать, что базисный минор составлен из первых r строк и r столбцов.

Рассмотрим определитель (r+1) порядка

Здесь Еслито две одинаковые строки или столбца и определитель равны нулю.то это минор порядкаr+1 равен нулю. Итак определитель равен нулю k и j.

Разложим его по r+1 столбцу. Отметим, что

и коэффициенты A_ij не зависят от выбора j, т.е.

что означает, что k-ая строка является линейной комбинацией первых r.

Теорема 3 (необходимое и достаточное условие равенству нулю определителя)

Определитель n-го порядка равен нулю его строки (столбцы) линейно зависимы.

Док-во:

базисный минор имеет порядок < n хотя бы одна строка не базисная (по т.2) она линейная комбинация базисных строк все остальные строки можно включить с нулями одна строка линейная комбинация остальных.

Свойства определителей.

59