2.2 Методические указания к заданию №1

Для выполнения задания необходимо проработать материал по основам помехоустойчивого кодирования, принципам построения кодов Хэмминга с d₀=3 и d₀=4, принципу обнаружения и исправления ошибок в кодовых комбинациях кодов Хэмминга, понять смысл основных его параметров [8, стр. 106-110, 124-127; 9, стр. 263], обратив особое внимание на параметры 6.2 [8] и 7.6 [9]:

а) следует уяснить понятия кодового расстояния, минимального кодового расстояния и его связь с кратностью исправляемых ошибок. Необходимо разобраться с соотношением информационных и проверочных элементов в кодовой комбинации в зависимости от требуемого минимального кодового расстояния кода, с правилом выбора образующего полинома кода и с алгоритмом построения кодовых комбинаций циклического кода [8, стр. 104, 114, таблица 6.2, 112-113].

Пункт задания а) следует выполнять в следующей последовательности: определить d₀, затем r и n, записать параметры кода (n, к.). Все расчеты следует сопровождать пояснениями.

При определении минимального кодового расстояния' d₀ кода, который может исправить t_испр. ошибки, воспользуйтесь выражением (18.4) [7] или (6.6) [8].

Минимальное кодовое расстояние определяется по формуле

(1)

где t_испр. - кратность исправляемых ошибок.

Следует помнить, что только для кода с d₀=3 известно точное соотношение для определения количества проверочных элементов r: (6.9) [8], где n = k+r. Здесь k-длина кодовой комбинации простого кода (количество информационных элементов): n- общая длина кодовой комбинации корректирующего кода. Это соотношение можно также представить в виде

2^r>k + r+l, или r>log₂(k + r+1). (2)

Используя это соотношение, начиная с меньшего значения г, можно путем подбора найти его минимальное значение, которое будет удовлетворять данному соотношению. Общая длина кодовой комбинации циклического кода при этом составит n= k + г.

б) этот пункт задания следует выполнить только в цифровом виде. Вначале составляется таблица синдромов кода, аналогично таблице 6.1 [8, стр. 108]. По ней составляется алгоритм расчета проверочных элементов, аналогично [8, стр. 109], затем проводится их расчет и составление кодовой комбинации кода Хэмминга аналогично примеру 6.2 1 [8, стр. 109-110].

в) матричное представление систематических кодов приведено в [8, стр. 118-123, примеры 6.7, 6.8, стр. 109]. Образующая матрица кода G может быть составлена путем формирования кодовых комбинаций кода Хэмминга на основе кодовых комбинаций простого кода весом W=1. Проверочную матрицу кода можно составить на основе образующей матрицы по выражению их взаимосвязи

H_r._n=R^T _k,r * E_r,r, (3)

где H_r,n- проверочная матрица размером r строк и k столбцов;

R^т_k,r- транспонированная проверочная подматрица (размером k строк и r столбцов) образующей матрицы;

Е _{r, r}-единичная квадратная подматрица размером г строк и г столбцов.

Для кода Хэмминга предпочтительнее вначале составить проверочную матрицу по выведенному алгоритму расчета проверочных элементов, а затем построить образующую матрицу кода. Матрица синдромов полностью соответствует таблице синдромов кода, составленной в пункте б) данного задания. Пример проверочной матрицы кода Хэмминга (9,5) приведен в [8, стр. 109];

г) проверить возможность исправления однократной ошибки в i-м разряде кодовой комбинации, при декодировании можно путем внесения ошибки в этот разряд кодовой комбинации и определения синдрома. Совпадение получившегося при этом синдрома с синдромом ошибки в этом разряде (в матрице синдромов) говорит о том, что она может быть исправлена. Порядок декодирования этим методом приведен в [8, стр. 106-108, стр. 109, пример 6.2].

Для проверки возможности обнаружения двукратной ошибки (в i-м и j-м разрядах кодовой комбинации) нужно внести ошибки в эти разряды кодовой комбинации циклического кода и, разделив полученную комбинацию на образующий полином, найти синдром при ошибке в этих разрядах. Совпадение получившегося при этом синдрома с синдромом при однократной ошибке в каком-то одном разряде кодовой комбинации (по матрице синдромов) или отсутствие данного синдрома в матрице синдромов говорит о том, что двукратная ошибка может быть обнаружена (синдром не нулевой), но не может быть исправлена (синдром совпадает с синдромом при ошибке в другом разряде или отсутствует). Можно также найти все виды синдромов при двукратных ошибках в кодовой комбинации. Совпадение синдромов для разных вариантов двукратных ошибок говорит о невозможности их исправления, можно только их обнаружить;

д) схема кодера кода Хэмминга может быть реализована аналогично схеме на рисунке 6.5 [8, стр. 124]. Здесь не требуется составления таблицы состояний ячеек в схеме кодера при кодировании заданной кодовой комбинации простого кода;

е) схема декодера кода Хэмминга реализуется аналогично схеме на рисунке 6.6 [8, стр. 125]. Необходимо составить схему декодера, включая схему определения синдромов, схему дешифратора синдромов и схему исправления однократной ошибки. Здесь не требуется составление таблицы состояний ячеек в схеме декодера при декодировании принимаемой кодовой комбинации кода Хэмминга;

ж) пример составления кодовой комбинации кода Хэмминга с d₀=4 приведен в [9, стр. 263, пример 7.6];

з) операция декодирования кода Хэмминга с d₀=4 в [9, стр. 263];

и) пример составления кодовой комбинации кода Хэмминга с d₀=4 приведен в [9, стр. 263, пример 7.6]. Необходимо внести ошибки в i-й и j-й разряды кодовой комбинации кода Хэмминга с минимальным кодовым расстоянием d₀=4, определить синдром и, проведя его анализ, показать, возможность одновременного исправления ошибки в i-м и обнаружения ошибки j-м разрядах кодовой комбинации. Возможность исправления ошибки доказывается соответствием полученного синдрома синдрому ошибки в этом разряде. Для этого необходимо составить матрицы синдромов этого кода при однократных и двукратных ошибках.